Номер 13.30, страница 125 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.30. Точки $A, B, C, D, E$ и $F$ принадлежат сфере. Докажите, что прямые, перпендикулярные плоскостям $ABC$ и $DEF$ и проходящие через центры описанных окружностей треугольников $ABC$ и $DEF$, пересекаются или совпадают.

Пусть дана сфера с центром в точке $O$ и радиусом $R$. По условию, точки $A, B, C, D, E$ и $F$ принадлежат этой сфере. Это означает, что все эти точки равноудалены от центра сферы $O$.

Рассмотрим прямую, о которой говорится в задаче для треугольника $ABC$. Эта прямая перпендикулярна плоскости $ABC$ и проходит через центр описанной окружности треугольника $ABC$. Обозначим эту прямую $l_1$.

Известно, что геометрическим местом точек в пространстве, равноудаленных от трех вершин треугольника (в данном случае $A, B, C$), является прямая, перпендикулярная плоскости этого треугольника и проходящая через центр его описанной окружности. То есть, это в точности прямая $l_1$.

Поскольку точки $A, B, C$ лежат на сфере с центром $O$, то расстояния от центра сферы до этих точек равны радиусу сферы: $OA = OB = OC = R$. Таким образом, точка $O$ равноудалена от вершин $A, B, C$. Следовательно, центр сферы $O$ принадлежит прямой $l_1$.

Аналогичные рассуждения проведем для треугольника $DEF$. Прямая $l_2$, перпендикулярная плоскости $DEF$ и проходящая через центр описанной окружности треугольника $DEF$, является геометрическим местом точек, равноудаленных от вершин $D, E, F$.

Так как точки $D, E, F$ лежат на той же сфере, ее центр $O$ равноудален и от этих точек: $OD = OE = OF = R$. Следовательно, центр сферы $O$ также принадлежит прямой $l_2$.

Таким образом, мы установили, что обе прямые, $l_1$ и $l_2$, проходят через одну и ту же точку — центр сферы $O$. Две прямые в трехмерном пространстве, имеющие общую точку, либо пересекаются в этой точке, либо совпадают.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Обе рассматриваемые прямые проходят через центр сферы, которой принадлежат все шесть точек. Следовательно, эти прямые имеют общую точку, а значит, они пересекаются или совпадают.