Номер 13.25, страница 125 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.25. Через точку $M$ сферы радиуса 112 см проведена касательная плоскость. На этой плоскости отмечена точка $K$, расстояние от которой до наиболее удалённой от неё точки сферы равно 225 см. Найдите расстояние между точками $M$ и $K$.

Пусть $O$ — центр сферы, $R$ — её радиус, $\alpha$ — касательная плоскость, $M$ — точка касания, $K$ — точка на плоскости $\alpha$.

По условию, радиус сферы $R = 112$ см.

По свойству касательной плоскости, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен этой плоскости. Следовательно, отрезок $OM$ перпендикулярен плоскости $\alpha$. Так как прямая $MK$ лежит в плоскости $\alpha$ и проходит через точку $M$, то $OM \perp MK$. Это означает, что треугольник $\triangle OMK$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $M$.

Наиболее удалённая от точки $K$ точка сферы (обозначим её $N$) лежит на прямой, проходящей через центр сферы $O$ и точку $K$. При этом центр $O$ находится между точками $K$ и $N$. Расстояние от точки $K$ до точки $N$ равно сумме расстояния от $K$ до центра сферы ($KO$) и радиуса сферы ($ON = R$).

По условию, расстояние $KN = 225$ см. Таким образом, мы можем составить уравнение:

$KN = KO + R$

$225 = KO + 112$

Отсюда находим расстояние от точки $K$ до центра сферы $O$:

$KO = 225 - 112 = 113$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMK$. По теореме Пифагора:

$KO^2 = OM^2 + MK^2$

Где $KO = 113$ см (гипотенуза) и $OM = R = 112$ см (катет). Выразим и найдём искомое расстояние $MK$ (второй катет):

$MK^2 = KO^2 - OM^2$

$MK^2 = 113^2 - 112^2$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$MK^2 = (113 - 112)(113 + 112) = 1 \cdot 225 = 225$

$MK = \sqrt{225} = 15$ см.

Ответ: 15 см.