Номер 13.27, страница 125 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.27. Составьте уравнение сферы, которая касается каждой из координатных плоскостей и проходит через точку $M (10; -10; 8)$.

Уравнение сферы с центром в точке $C(x_0, y_0, z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$.

Из условия, что сфера касается каждой из координатных плоскостей ($Oxy$, $Oxz$, $Oyz$), следует, что расстояние от её центра до каждой из этих плоскостей равно радиусу $R$. Это означает, что $|x_0| = |y_0| = |z_0| = R$.

Сфера проходит через точку $M(10; -10; 8)$. Координаты этой точки положительны по оси $Ox$, отрицательны по оси $Oy$ и положительны по оси $Oz$. Поскольку сфера касается координатных плоскостей, её центр должен находиться в том же пространственном октанте, что и точка $M$. Следовательно, координаты центра $C(x_0, y_0, z_0)$ должны иметь соответствующие знаки: $x_0 > 0$, $y_0 < 0$, $z_0 > 0$.

Совмещая эти условия, получаем координаты центра сферы: $x_0 = R$, $y_0 = -R$ и $z_0 = R$. Таким образом, центр сферы — это точка $C(R, -R, R)$.

Подставим координаты центра в общее уравнение сферы: $(x - R)^2 + (y - (-R))^2 + (z - R)^2 = R^2$ , что равносильно $(x - R)^2 + (y + R)^2 + (z - R)^2 = R^2$.

Поскольку точка $M(10; -10; 8)$ принадлежит сфере, её координаты должны удовлетворять этому уравнению. Подставим их, чтобы найти $R$: $(10 - R)^2 + (-10 + R)^2 + (8 - R)^2 = R^2$.

Упростим полученное уравнение, заметив, что $(-10 + R)^2 = (10 - R)^2$: $2(10 - R)^2 + (8 - R)^2 = R^2$ $2(100 - 20R + R^2) + (64 - 16R + R^2) = R^2$ $200 - 40R + 2R^2 + 64 - 16R + R^2 = R^2$ $3R^2 - 56R + 264 = R^2$ $2R^2 - 56R + 264 = 0$.

Разделив обе части на 2, получим приведённое квадратное уравнение: $R^2 - 28R + 132 = 0$.

Решим это уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-28)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 132 = 784 - 528 = 256$. Корни уравнения: $R_1 = \frac{28 - \sqrt{256}}{2} = \frac{28 - 16}{2} = \frac{12}{2} = 6$. $R_2 = \frac{28 + \sqrt{256}}{2} = \frac{28 + 16}{2} = \frac{44}{2} = 22$.

Мы получили два возможных значения для радиуса, что означает существование двух сфер, удовлетворяющих заданным условиям.

Для первого случая, когда $R=6$, центр сферы находится в точке $C_1(6, -6, 6)$. Уравнение этой сферы: $(x - 6)^2 + (y + 6)^2 + (z - 6)^2 = 6^2 = 36$.

Для второго случая, когда $R=22$, центр сферы находится в точке $C_2(22, -22, 22)$. Уравнение этой сферы: $(x - 22)^2 + (y + 22)^2 + (z - 22)^2 = 22^2 = 484$.

Ответ: $(x - 6)^2 + (y + 6)^2 + (z - 6)^2 = 36$ и $(x - 22)^2 + (y + 22)^2 + (z - 22)^2 = 484$.