Номер 13.34, страница 125 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.34. Стороны ромба касаются сферы, диаметр которой равен $a$. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости ромба, если его сторона равна $a$, а острый угол равен $\alpha$.

Пусть центр сферы находится в точке $O$, а ее радиус равен $R$. По условию задачи, диаметр сферы равен $a$, следовательно, ее радиус $R = \frac{a}{2}$. Пусть искомое расстояние от центра сферы до плоскости ромба равно $h$.

Обозначим плоскость, в которой лежит ромб, через $\Pi$. Пусть $O'$ — это ортогональная проекция центра сферы $O$ на плоскость $\Pi$. Тогда длина перпендикуляра $OO'$ и есть искомое расстояние $h$.

По условию, каждая сторона ромба касается сферы. Это означает, что расстояние от центра сферы $O$ до каждой из четырех прямых, содержащих стороны ромба, равно радиусу сферы $R$.

Рассмотрим одну из сторон ромба, лежащую на прямой $l$. Пусть $K$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на прямую $l$. Тогда $OK = R = \frac{a}{2}$. Точка $K$ лежит на прямой $l$, а значит, и в плоскости $\Pi$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OO'K$. В этом треугольнике катет $OO'$ перпендикулярен плоскости $\Pi$, а катет $O'K$ лежит в этой плоскости, значит, $\angle OO'K = 90^\circ$. По теореме Пифагора имеем:$OK^2 = OO'^2 + O'K^2$

Из этой формулы мы можем выразить искомое расстояние $h = OO'$:$R^2 = h^2 + O'K^2 \implies h^2 = R^2 - O'K^2$

Согласно теореме о трех перпендикулярах, поскольку $OO' \perp \Pi$ и наклонная $OK \perp l$, то ее проекция $O'K$ также перпендикулярна прямой $l$. Это означает, что длина отрезка $O'K$ является расстоянием от точки $O'$ до стороны ромба.

Так как расстояние $R$ от центра сферы до всех сторон ромба одинаково, то и расстояние $O'K$ от точки $O'$ до всех сторон ромба также будет одинаковым. Точка в плоскости многоугольника, равноудаленная от всех его сторон, является центром вписанной окружности. Следовательно, $O'$ — это центр окружности, вписанной в ромб, а $O'K$ — ее радиус, который мы обозначим $r$.

Таким образом, формула для нахождения $h$ принимает вид: $h = \sqrt{R^2 - r^2}$.

Найдем радиус $r$ вписанной в ромб окружности. Известно, что сторона ромба равна $a$, а его острый угол равен $\alpha$. Высота ромба $h_{ромба}$ связана со стороной и углом соотношением:$h_{ромба} = a \cdot \sin(\alpha)$

Диаметр вписанной в ромб окружности равен его высоте, то есть $2r = h_{ромба}$. Отсюда находим радиус:$r = \frac{h_{ромба}}{2} = \frac{a \sin(\alpha)}{2}$

Теперь, зная $R = \frac{a}{2}$ и $r = \frac{a \sin(\alpha)}{2}$, подставим эти значения в формулу для $h$:$h^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 - \left(\frac{a \sin(\alpha)}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4} - \frac{a^2 \sin^2(\alpha)}{4} = \frac{a^2}{4}(1 - \sin^2(\alpha))$

Применяя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$, получаем $1 - \sin^2(\alpha) = \cos^2(\alpha)$. Тогда:$h^2 = \frac{a^2 \cos^2(\alpha)}{4}$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, находим $h$:$h = \sqrt{\frac{a^2 \cos^2(\alpha)}{4}} = \frac{\sqrt{a^2} \sqrt{\cos^2(\alpha)}}{\sqrt{4}} = \frac{a |\cos(\alpha)|}{2}$

Поскольку по условию $\alpha$ — острый угол, то $\cos(\alpha) > 0$, и, следовательно, $|\cos(\alpha)| = \cos(\alpha)$. Окончательно получаем:$h = \frac{a \cos(\alpha)}{2}$

Ответ: $\frac{a \cos(\alpha)}{2}$.