Номер 13.40, страница 126 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.40. Через точку $M$ проведены две прямые, касающиеся сферы с центром $O$ в точках $A$ и $B$. Двугранный угол с гранями $AMO$ и $BMO$ равен $120^\circ$, $AB = 6$ см, $AM = 4\sqrt{3}$ см. Найдите радиус сферы.

Пусть $R$ — искомый радиус сферы. Прямые $MA$ и $MB$ касаются сферы в точках $A$ и $B$. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому $OA \perp MA$ и $OB \perp MB$. Это означает, что треугольники $\triangle OAM$ и $\triangle OBM$ являются прямоугольными с прямыми углами при вершинах $A$ и $B$ соответственно.

Отрезки касательных, проведенных из одной точки к сфере, равны, следовательно, $AM = BM = 4\sqrt{3}$ см. Также $OA = OB = R$ как радиусы одной сферы, а сторона $OM$ у треугольников $\triangle OAM$ и $\triangle OBM$ общая. Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle OAM$ и $\triangle OBM$ равны по катету и гипотенузе.

Двугранный угол между плоскостями $(AMO)$ и $(BMO)$ измеряется линейным углом. Ребром этого двугранного угла является прямая $MO$. Для построения линейного угла опустим из точки $A$ перпендикуляр $AH$ на прямую $MO$. Так как $\triangle OAM = \triangle OBM$, то перпендикуляр, опущенный из точки $B$ на прямую $MO$, также придет в точку $H$. Таким образом, $AH \perp MO$ и $BH \perp MO$, и $\angle AHB$ является линейным углом данного двугранного угла. По условию, $\angle AHB = 120^\circ$.

Рассмотрим $\triangle AHB$. Так как $AH$ и $BH$ являются соответствующими высотами в равных треугольниках $\triangle OAM$ и $\triangle OBM$, то $AH = BH$, и, следовательно, $\triangle AHB$ — равнобедренный. Проведем в нем медиану $HK$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой и биссектрисой. Значит, $HK \perp AB$ и $\angle AHK = \frac{1}{2}\angle AHB = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$. Так как $K$ — середина $AB$, то $AK = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

В прямоугольном треугольнике $\triangle AHK$ (с прямым углом $K$):$AH = \frac{AK}{\sin(\angle AHK)} = \frac{3}{\sin(60^\circ)} = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику $\triangle OAM$. В нем $OA = R$, $AM = 4\sqrt{3}$ см, а $AH = 2\sqrt{3}$ см — высота, проведенная из вершины прямого угла $A$ к гипотенузе $OM$.

Площадь треугольника $\triangle OAM$ можно выразить двумя способами:1. $S_{\triangle OAM} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot AM = \frac{1}{2} \cdot R \cdot 4\sqrt{3} = 2\sqrt{3}R$.2. $S_{\triangle OAM} = \frac{1}{2} \cdot OM \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot OM \cdot 2\sqrt{3} = \sqrt{3} \cdot OM$. Приравняв эти два выражения, получим:$2\sqrt{3}R = \sqrt{3} \cdot OM$, откуда $OM = 2R$.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle OAM$:$OM^2 = OA^2 + AM^2$. Подставим известные значения и найденное соотношение:$(2R)^2 = R^2 + (4\sqrt{3})^2$$4R^2 = R^2 + 16 \cdot 3$$4R^2 = R^2 + 48$$3R^2 = 48$$R^2 = 16$Так как радиус — величина положительная, $R = 4$ см.

Ответ: 4 см.