Номер 13.46, страница 126 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.46. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$, $AB = BC = 2$ см, $AA_1 = 1$ см. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $D$ и $B_1$ и параллельна прямой $AC$. Найдите радиус сферы, касающейся плоскости $\alpha$ и трёх граней параллелепипеда с общей вершиной $B$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $B$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $BC$, ось $Oy$ вдоль ребра $BA$ и ось $Oz$ вдоль ребра $BB_1$.

В этой системе координат вершины параллелепипеда будут иметь следующие координаты:

• $B(0, 0, 0)$
• $C(2, 0, 0)$ (т.к. $BC=2$)
• $A(0, 2, 0)$ (т.к. $AB=2$)
• $B_1(0, 0, 1)$ (т.к. $BB_1=1$)
• $D(2, 2, 0)$ (т.к. $\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD} = \vec{BA} + \vec{BC}$)

Плоскость $\alpha$ проходит через точки $D(2, 2, 0)$ и $B_1(0, 0, 1)$ и параллельна прямой $AC$.

Найдем направляющий вектор прямой $AC$:

$\vec{v}_{AC} = C - A = (2-0, 0-2, 0-0) = (2, -2, 0)$. Можно взять коллинеарный вектор $\vec{v} = (1, -1, 0)$.

Найдем вектор $\vec{DB_1}$, лежащий в плоскости $\alpha$:

$\vec{DB_1} = B_1 - D = (0-2, 0-2, 1-0) = (-2, -2, 1)$.

Пусть $\vec{n} = (A, B, C)$ — вектор нормали к плоскости $\alpha$. Так как плоскость $\alpha$ параллельна прямой $AC$, то вектор нормали $\vec{n}$ перпендикулярен вектору $\vec{v}$. Также $\vec{n}$ перпендикулярен вектору $\vec{DB_1}$, который лежит в плоскости.

Составим систему уравнений из условий перпендикулярности (скалярное произведение равно нулю):

$\vec{n} \cdot \vec{v} = 0 \implies A(1) + B(-1) + C(0) = 0 \implies A - B = 0 \implies A = B$.

$\vec{n} \cdot \vec{DB_1} = 0 \implies A(-2) + B(-2) + C(1) = 0 \implies -2A - 2B + C = 0$.

Подставим $A=B$ во второе уравнение:

$-2A - 2A + C = 0 \implies -4A + C = 0 \implies C = 4A$.

Таким образом, вектор нормали $\vec{n}$ имеет вид $(A, A, 4A)$. Положим $A=1$, тогда $\vec{n} = (1, 1, 4)$.

Уравнение плоскости $\alpha$ имеет вид $x + y + 4z + D_{plane} = 0$.

Чтобы найти коэффициент $D_{plane}$, подставим в уравнение координаты точки, через которую проходит плоскость, например, $B_1(0, 0, 1)$:

$1(0) + 1(0) + 4(1) + D_{plane} = 0 \implies 4 + D_{plane} = 0 \implies D_{plane} = -4$.

Итак, уравнение плоскости $\alpha$: $x + y + 4z - 4 = 0$.

Теперь рассмотрим сферу. Она касается трёх граней параллелепипеда с общей вершиной $B$. В нашей системе координат это координатные плоскости $x=0$ (грань $ABB_1A_1$), $y=0$ (грань $BCC_1B_1$) и $z=0$ (грань $ABCD$).

Пусть радиус сферы равен $R$, а её центр — точка $O_s(x_0, y_0, z_0)$. Так как сфера находится внутри параллелепипеда в углу при вершине $B$, её центр имеет положительные координаты. Расстояние от центра сферы до каждой из координатных плоскостей равно радиусу $R$.

Следовательно, $x_0 = R$, $y_0 = R$, $z_0 = R$. Центр сферы — $O_s(R, R, R)$.

Сфера также касается плоскости $\alpha: x + y + 4z - 4 = 0$. Расстояние от центра сферы $O_s(R, R, R)$ до этой плоскости также должно быть равно радиусу $R$.

Используем формулу расстояния от точки до плоскости:

$R = \frac{|1 \cdot R + 1 \cdot R + 4 \cdot R - 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 4^2}} = \frac{|6R - 4|}{\sqrt{1 + 1 + 16}} = \frac{|6R - 4|}{\sqrt{18}}$

$R\sqrt{18} = |6R - 4|$

$3\sqrt{2}R = |6R - 4|$

Центр сферы $O_s(R, R, R)$ и вершина $B(0, 0, 0)$ должны находиться по одну сторону от плоскости $\alpha$. Проверим, какой знак имеет выражение $x + y + 4z - 4$ в точке $B(0, 0, 0)$:

$0 + 0 + 4(0) - 4 = -4$.

Значит, и для центра сферы $O_s(R, R, R)$ это выражение должно быть отрицательным:

$R + R + 4R - 4 < 0 \implies 6R - 4 < 0 \implies R < \frac{2}{3}$.

При этом условии $|6R - 4| = -(6R - 4) = 4 - 6R$.

Тогда уравнение для $R$ принимает вид:

$3\sqrt{2}R = 4 - 6R$

$3\sqrt{2}R + 6R = 4$

$R(6 + 3\sqrt{2}) = 4$

$R = \frac{4}{6 + 3\sqrt{2}} = \frac{4}{3(2 + \sqrt{2})}$

Упростим выражение, умножив числитель и знаменатель на сопряженное к $(2 + \sqrt{2})$, то есть на $(2 - \sqrt{2})$:

$R = \frac{4(2 - \sqrt{2})}{3(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})} = \frac{4(2 - \sqrt{2})}{3(4 - 2)} = \frac{4(2 - \sqrt{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2(2 - \sqrt{2})}{3}$.

Проверим, удовлетворяет ли найденное значение условию $R < \frac{2}{3}$:

$\frac{2(2 - \sqrt{2})}{3} < \frac{2}{3} \implies 2 - \sqrt{2} < 1 \implies 1 < \sqrt{2}$, что является верным неравенством.

Ответ: радиус сферы равен $\frac{2(2 - \sqrt{2})}{3}$ см.