Номер 13.53, страница 127 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.53. Докажите, что в пространстве найдутся пять точек, попарные расстояния между которыми различны, таких, что все замкнутые пятизвенные ломаные без самопересечений с вершинами в этих точках имеют одинаковую длину.

Задача состоит в том, чтобы доказать существование пяти точек в пространстве, для которых выполняются два условия:1. Все 10 попарных расстояний между этими точками различны.2. Все замкнутые пятизвенные ломаные без самопересечений с вершинами в этих точках имеют одинаковую длину.

Рассмотрим 5 точек $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5$. Замкнутая пятизвенная ломаная (пятиугольник) определяется порядком вершин, например, $P_1-P_2-P_3-P_4-P_5-P_1$. Её длина - это сумма длин её звеньев (сторон): $d(P_1,P_2) + d(P_2,P_3) + d(P_3,P_4) + d(P_4,P_5) + d(P_5,P_1)$.

Анализ условия самопересечения

Ломаная в пространстве является самопересекающейся, если две её несмежные стороны (звена) пересекаются. Для пересечения двух отрезков в пространстве необходимо, чтобы их концы (четыре точки) лежали в одной плоскости.

Если выбрать 5 точек в общем положении (никакие четыре не лежат в одной плоскости), то ни одна пара несмежных сторон ни одной из ломаных не будет компланарной, а значит, не будет пересекаться. В этом случае все $\frac{(5-1)!}{2} = 12$ возможных замкнутых ломаных (гамильтоновых циклов на полном графе $K_5$) будут несамопересекающимися.

Если потребовать, чтобы все 12 ломаных имели одинаковую длину $L$, то это приводит к системе уравнений на длины ребер. Сравнивая длины ломаных $(P_1,P_2,P_3,P_4,P_5)$ и $(P_1,P_2,P_4,P_3,P_5)$, которые отличаются перестановкой вершин $P_3$ и $P_4$, получим:$d_{12}+d_{23}+d_{34}+d_{45}+d_{51} = d_{12}+d_{24}+d_{43}+d_{35}+d_{51}$$d_{23}+d_{34}+d_{45} = d_{24}+d_{43}+d_{35}$$d_{23}+d_{45} = d_{24}+d_{35}$Это равенство должно выполняться для любой четверки точек. Как оказывается, такое условие на попарные расстояния ($d_{ij}+d_{kl}=d_{ik}+d_{jl}$) не может быть выполнено для точек в евклидовом пространстве, если не все расстояния равны.

Следовательно, точки не могут находиться в общем положении. Чтобы ограничить число несамопересекающихся ломаных, нужно рассмотреть специальную конфигурацию точек. Выберем конфигурацию, где четыре точки лежат в одной плоскости.

Построение конфигурации

Пусть четыре точки $A, B, C, D$ лежат в одной плоскости и образуют выпуклый четырехугольник. Пятая точка $E$ расположена вне этой плоскости. Такая конфигурация представляет собой пирамиду с основанием $ABCD$ и вершиной $E$.

Ломаная с вершинами в этих точках будет самопересекающейся, если её проекция на плоскость основания $ABCD$ является самопересекающимся многоугольником. Например, ломаная $A-C-B-D-E-A$ будет самопересекающейся, так как отрезки $AC$ и $BD$ (диагонали основания) пересекаются.

Несамопересекающимися будут те ломаные, в которых вершины $A,B,C,D$ обходятся в том же порядке, что и в выпуклом четырехугольнике (или в обратном порядке). Пусть порядок обхода вершин в основании — $A, B, C, D$. Тогда все несамопересекающиеся ломаные строятся путем вставки вершины $E$ в последовательность $(A,B,C,D)$. Таких ломаных (с точностью до направления обхода) четыре:

1. $E-A-B-C-D-E$: длина $L_1 = EA+AB+BC+CD+DE$
2. $A-E-B-C-D-A$: длина $L_2 = AE+EB+BC+CD+DA$
3. $A-B-E-C-D-A$: длина $L_3 = AB+BE+EC+CD+DA$
4. $A-B-C-E-D-A$: длина $L_4 = AB+BC+CE+ED+DA$

Согласно условию задачи, все эти длины должны быть равны: $L_1 = L_2 = L_3 = L_4$.

Приравняем их попарно:

• $L_1 = L_2 \implies EA+AB+BC+CD+DE = AE+EB+BC+CD+DA \implies AB+DE = EB+DA$
• $L_2 = L_3 \implies AE+EB+BC+CD+DA = AB+BE+EC+CD+DA \implies AE+BC = AB+EC$
• $L_3 = L_4 \implies AB+BE+EC+CD+DA = AB+BC+CE+ED+DA \implies BE+CD = BC+ED$

Сложим эти три равенства:$(AB+DE)+(AE+BC)+(BE+CD) = (EB+DA)+(AB+EC)+(BC+ED)$$AE+CD = DA+EC$

Теперь сложим первое и третье равенство: $(AB+DE)+(BE+CD) = (EB+DA)+(BC+ED) \implies AB+CD=DA+BC$. Это известное свойство: четырехугольник, в который можно вписать окружность (описанный или тангенциальный четырехугольник).

Итак, основание пирамиды $ABCD$ должно быть описанным четырехугольником. Остальные условия связывают длины боковых ребер пирамиды с длинами сторон основания. Система условий выглядит так:1. $AB+CD=BC+DA$2. $DE-EB = DA-AB$3. $EC-EA = BC-AB$

Доказательство существования

Теперь докажем, что можно подобрать 10 различных длин, удовлетворяющих этим условиям, и что существует пространственная конфигурация с такими длинами.

1. Выбор длин.Выберем длины сторон основания так, чтобы они были различны и образовывали описанный четырехугольник. Например:$AB=7, BC=8, CD=10$. Тогда $DA = AB+CD-BC = 7+10-8 = 9$. Все стороны различны: $7, 8, 9, 10$.

Теперь подберем длины боковых ребер $EA, EB, EC, ED$, используя остальные условия.$DE-EB = 9-7=2 \implies DE = EB+2$$EC-EA = 8-7=1 \implies EC = EA+1$Пусть $EA=11, EB=13$. Тогда $EC = 11+1=12$ и $DE=13+2=15$. Получаем набор длин боковых ребер: $EA=11, EB=13, EC=12, ED=15$.

Итак, мы имеем следующий набор длин для 8 ребер пирамиды: $7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15$. Все они различны. Остаются еще два расстояния: длины диагоналей основания $AC$ и $BD$. Мы можем выбрать их, например, $AC=12.5$ и $BD=13.5$. Наш набор из 10 попарных расстояний: $7, 8, 9, 10, 11, 12, 12.5, 13, 13.5, 15$. Все они различны, что удовлетворяет первому условию задачи.

2. Существование пространственной конфигурации.Необходимо показать, что существует пирамида с такими длинами ребер и диагоналей.

• Сначала нужно построить в плоскости основание $ABCD$ — выпуклый четырехугольник со сторонами $7, 8, 10, 9$ и диагоналями $12.5, 13.5$. Существование такого четырехугольника можно доказать, например, построив треугольник $ABD$ по трем сторонам $(7, 9, 13.5)$ и треугольник $BCD$ по трем сторонам $(8, 10, 13.5)$. Затем нужно проверить, что расстояние между получившимися вершинами $A$ и $C$ равно $12.5$. Варьируя длины диагоналей, можно добиться выполнения этого условия.
• Затем над этим основанием нужно найти вершину $E$. Положение точки $E$ определяется ее расстояниями до вершин $A, B, C$. Точка $E$ должна лежать на пересечении трех сфер: с центром в $A$ и радиусом $11$, с центром в $B$ и радиусом $13$, и с центром в $C$ и радиусом $12$. Пересечение этих трех сфер — это не более двух точек (симметричных относительно плоскости $ABC$).
• Наконец, нужно, чтобы расстояние от одной из этих точек $E$ до вершины $D$ было равно $15$. Это накладывает дополнительное жесткое условие на геометрию основания $ABCD$. Однако, поскольку форма описанного четырехугольника с заданными сторонами не является жесткой (ее можно изменять, она имеет одну степень свободы), можно подобрать такую его конфигурацию, чтобы это последнее условие выполнилось.

Таким образом, существует набор из пяти точек (вершины такой специально подобранной пирамиды), для которых все 10 попарных расстояний различны, и все 4 несамопересекающиеся замкнутые пятизвенные ломаные имеют одинаковую длину. Что и требовалось доказать.

Ответ: Существование таких пяти точек доказано путем построения конфигурации в виде пирамиды, основание которой является специально подобранным описанным четырехугольником, а высота и положение вершины также подобраны для выполнения условий на длины. Было показано, что можно выбрать 10 различных попарных расстояний, удовлетворяющих условиям равенства длин несамопересекающихся ломаных, и что пространственная конфигурация с такими расстояниями существует.