Номер 13.55, страница 127 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.55. Сфера касается рёбер $AB, BC, CA, DA, DB$ и $DC$ каркасного тетраэдра $DABC$ соответственно в точках $M, N, K, P, F$ и $E$. Докажите, что отрезки $ME, NP$ и $KF$ пересекаются в одной точке.

Доказательство:

Пусть DABC — данный тетраэдр. Сфера касается его рёбер в указанных точках. Основное свойство такой конфигурации заключается в том, что длины отрезков касательных, проведённых из одной вершины к точкам касания, равны. Обозначим эти длины:

• Из вершины A: $AM = AP = AK = l_A$
• Из вершины B: $BM = BN = BF = l_B$
• Из вершины C: $CN = CK = CE = l_C$
• Из вершины D: $DP = DE = DF = l_D$

Для решения задачи воспользуемся методом барицентрических координат (или векторов). Пусть $\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}, \vec{D}$ — радиус-векторы вершин тетраэдра. Тогда точки касания, делящие рёбра в определённом отношении, можно выразить как:

Точка M на ребре AB: $\vec{M} = \frac{AM}{AB}\vec{B} + \frac{BM}{AB}\vec{A} = \frac{l_A}{l_A+l_B}\vec{B} + \frac{l_B}{l_A+l_B}\vec{A}$

Точка E на ребре DC: $\vec{E} = \frac{DE}{DC}\vec{C} + \frac{CE}{DC}\vec{D} = \frac{l_D}{l_D+l_C}\vec{C} + \frac{l_C}{l_D+l_C}\vec{D}$

Аналогично для других точек:

$\vec{N} = \frac{l_B}{l_B+l_C}\vec{C} + \frac{l_C}{l_B+l_C}\vec{B}$

$\vec{P} = \frac{l_D}{l_D+l_A}\vec{A} + \frac{l_A}{l_D+l_A}\vec{D}$

$\vec{K} = \frac{l_C}{l_C+l_A}\vec{A} + \frac{l_A}{l_C+l_A}\vec{C}$

$\vec{F} = \frac{l_D}{l_D+l_B}\vec{B} + \frac{l_B}{l_D+l_B}\vec{D}$

Рассмотрим точку $J$, которая является барицентром вершин $A, B, C, D$ с массами, обратно пропорциональными длинам касательных отрезков из этих вершин: $1/l_A, 1/l_B, 1/l_C, 1/l_D$. Её радиус-вектор $\vec{J}$ равен:

$\vec{J} = \frac{\frac{1}{l_A}\vec{A} + \frac{1}{l_B}\vec{B} + \frac{1}{l_C}\vec{C} + \frac{1}{l_D}\vec{D}}{\frac{1}{l_A} + \frac{1}{l_B} + \frac{1}{l_C} + \frac{1}{l_D}}$

Докажем, что точка $J$ лежит на отрезке $ME$. Для этого покажем, что вектор $\vec{J}$ можно представить в виде линейной комбинации векторов $\vec{M}$ и $\vec{E}$ с коэффициентами, сумма которых равна 1. Обозначим $S = \frac{1}{l_A} + \frac{1}{l_B} + \frac{1}{l_C} + \frac{1}{l_D}$. Тогда:

$\vec{J} = \frac{1}{S} \left( \left(\frac{1}{l_A}\vec{A} + \frac{1}{l_B}\vec{B}\right) + \left(\frac{1}{l_C}\vec{C} + \frac{1}{l_D}\vec{D}\right) \right)$

Выразим группы слагаемых через $\vec{M}$ и $\vec{E}$:

$\frac{1}{l_A}\vec{A} + \frac{1}{l_B}\vec{B} = \frac{l_B\vec{A} + l_A\vec{B}}{l_A l_B} = \frac{l_A+l_B}{l_A l_B} \left( \frac{l_B\vec{A} + l_A\vec{B}}{l_A+l_B} \right) = \frac{l_A+l_B}{l_A l_B} \vec{M}$

$\frac{1}{l_C}\vec{C} + \frac{1}{l_D}\vec{D} = \frac{l_D\vec{C} + l_C\vec{D}}{l_C l_D} = \frac{l_C+l_D}{l_C l_D} \left( \frac{l_D\vec{C} + l_C\vec{D}}{l_C+l_D} \right) = \frac{l_C+l_D}{l_C l_D} \vec{E}$

Подставим эти выражения в формулу для $\vec{J}$:

$\vec{J} = \frac{1}{S} \left( \frac{l_A+l_B}{l_A l_B} \vec{M} + \frac{l_C+l_D}{l_C l_D} \vec{E} \right)$

Это линейная комбинация векторов $\vec{M}$ и $\vec{E}$. Проверим сумму коэффициентов:

$\frac{1}{S} \left( \frac{l_A+l_B}{l_A l_B} + \frac{l_C+l_D}{l_C l_D} \right) = \frac{1}{S} \left( \left(\frac{1}{l_B} + \frac{1}{l_A}\right) + \left(\frac{1}{l_D} + \frac{1}{l_C}\right) \right) = \frac{1}{S} \cdot S = 1$

Так как сумма коэффициентов равна 1, а сами коэффициенты положительны (длины отрезков не могут быть отрицательными), точка $J$ лежит на отрезке $ME$.

Благодаря полной симметрии в определении точки $J$ относительно вершин $A, B, C, D$, аналогичные рассуждения можно провести и для других пар отрезков. Сгруппировав слагаемые $(\vec{B}, \vec{C})$ и $(\vec{A}, \vec{D})$, мы докажем, что $J$ лежит на отрезке $NP$. Сгруппировав $(\vec{A}, \vec{C})$ и $(\vec{B}, \vec{D})$, мы докажем, что $J$ лежит на отрезке $KF$.

Таким образом, все три отрезка $ME$, $NP$ и $KF$ проходят через одну и ту же точку $J$, а значит, пересекаются в одной точке.

Ответ: Что и требовалось доказать.