Номер 13.52, страница 127 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.52. Докажите, что существует сфера, проходящая через начало координат и не содержащая других точек, все координаты которых являются рациональными числами.

13.52.

Для доказательства существования такой сферы достаточно привести конкретный пример.

Уравнение сферы с центром в точке $(x_0, y_0, z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$$

По условию, сфера должна проходить через начало координат, точку $O(0, 0, 0)$. Подставив её координаты в уравнение, получим условие на центр и радиус: $$(0 - x_0)^2 + (0 - y_0)^2 + (0 - z_0)^2 = R^2$$ $$x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 = R^2$$

Таким образом, уравнение любой сферы, проходящей через начало координат, можно получить, раскрыв скобки в общем уравнении и подставив выражение для $R^2$: $$x^2 - 2xx_0 + x_0^2 + y^2 - 2yy_0 + y_0^2 + z^2 - 2zz_0 + z_0^2 = x_0^2 + y_0^2 + z_0^2$$ После упрощения получаем: $$x^2 + y^2 + z^2 - 2xx_0 - 2yy_0 - 2zz_0 = 0$$

Задача состоит в том, чтобы выбрать координаты центра $(x_0, y_0, z_0)$ таким образом, чтобы единственным решением этого уравнения, где все три координаты $x, y, z$ являются рациональными числами, было решение $(0, 0, 0)$.

Выберем центр сферы в точке, у которой хотя бы одна координата иррациональна. Например, пусть центр сферы — точка $C(\sqrt{2}, 0, 0)$. Тогда $x_0 = \sqrt{2}$, $y_0 = 0$, $z_0 = 0$. Уравнение сферы примет вид: $$x^2 + y^2 + z^2 - 2x\sqrt{2} = 0$$

Теперь предположим, что точка $M(x, y, z)$ с рациональными координатами ($x \in \mathbb{Q}, y \in \mathbb{Q}, z \in \mathbb{Q}$) лежит на этой сфере. Перепишем уравнение: $$x^2 + y^2 + z^2 = 2x\sqrt{2}$$

Левая часть этого равенства, $x^2 + y^2 + z^2$, является суммой квадратов рациональных чисел, а значит, сама является рациональным числом.

Правая часть, $2x\sqrt{2}$, является произведением рационального числа $2x$ и иррационального числа $\sqrt{2}$.

Рассмотрим два возможных случая для рационального числа $x$:

1. Если $x \neq 0$, то $2x$ — ненулевое рациональное число. Произведение ненулевого рационального числа на иррациональное число всегда иррационально. Следовательно, правая часть $2x\sqrt{2}$ иррациональна. Мы приходим к противоречию: рациональное число (левая часть) не может быть равно иррациональному числу (правая часть). Значит, случай $x \neq 0$ невозможен.

2. Если $x = 0$, уравнение принимает вид: $$0^2 + y^2 + z^2 = 2 \cdot 0 \cdot \sqrt{2}$$ $$y^2 + z^2 = 0$$ Так как $y$ и $z$ — рациональные (а значит, и действительные) числа, сумма их квадратов равна нулю тогда и только тогда, когда оба числа равны нулю: $y = 0$ и $z = 0$.

Таким образом, мы показали, что единственной точкой с рациональными координатами, удовлетворяющей уравнению нашей сферы, является точка $(0, 0, 0)$ — начало координат. Это означает, что построенная нами сфера проходит через начало координат и не содержит никаких других точек, все координаты которых рациональны.

Существование такой сферы доказано.

Ответ: Существование доказано. Примером служит сфера с центром в точке $C(\sqrt{2}, 0, 0)$ и радиусом $R=\sqrt{2}$. Её уравнение: $(x - \sqrt{2})^2 + y^2 + z^2 = 2$.