Номер 13.41, страница 126 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.41. Даны точки $A$ и $B$. Найдите ГМТ оснований перпендикуляров, опущенных из точки $A$ на все плоскости, проходящие через точку $B$.

Пусть $\pi$ — произвольная плоскость, проходящая через точку $B$. Пусть $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на плоскость $\pi$.

По определению, прямая $AH$ перпендикулярна плоскости $\pi$. Так как точка $B$ и точка $H$ (основание перпендикуляра) лежат в плоскости $\pi$, то и прямая $BH$ лежит в этой плоскости.

Из того, что прямая $AH$ перпендикулярна плоскости $\pi$, следует, что она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $H$. В частности, прямая $AH$ перпендикулярна прямой $BH$.

Таким образом, для любой точки $H$ из искомого геометрического места точек (ГМТ) треугольник $\triangle AHB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $H$, то есть $\angle AHB = 90^\circ$.

Геометрическое место точек в пространстве, из которых данный отрезок $AB$ виден под прямым углом, представляет собой сферу, построенную на отрезке $AB$ как на диаметре.

Докажем обратное. Возьмем любую точку $H$ на сфере, диаметром которой является отрезок $AB$. Тогда по свойству точек сферы $\angle AHB = 90^\circ$. Проведем через точку $H$ плоскость $\pi$, перпендикулярную прямой $AH$. Прямая $BH$ лежит в этой плоскости, так как она проходит через точку $H$ и перпендикулярна $AH$. Следовательно, и точка $B$ лежит в плоскости $\pi$. Таким образом, для любой точки $H$ на сфере с диаметром $AB$ существует плоскость $\pi$, проходящая через $B$, для которой $H$ является основанием перпендикуляра, опущенного из $A$.

Следовательно, искомое ГМТ — это сфера с диаметром $AB$.

Ответ: Сфера, построенная на отрезке $AB$ как на диаметре.