Номер 13.36, страница 126 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.36. Сечения шара, плоскости которых перпендикулярны, имеют общую хорду длиной 12 см. Найдите радиус шара, если площади данных сечений равны $64\pi \text{ см}^2$ и $100\pi \text{ см}^2$.

Сечение шара плоскостью представляет собой круг. Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ – радиус круга. Найдем радиусы данных сечений.

Пусть $r_1$ и $S_1 = 64\pi \text{ см}^2$ – радиус и площадь первого сечения, а $r_2$ и $S_2 = 100\pi \text{ см}^2$ – второго.

Для первого сечения: $S_1 = \pi r_1^2 = 64\pi$, откуда $r_1^2 = 64$ и $r_1 = 8 \text{ см}$.

Для второго сечения: $S_2 = \pi r_2^2 = 100\pi$, откуда $r_2^2 = 100$ и $r_2 = 10 \text{ см}$.

Пусть $R$ – радиус шара, а $O$ – его центр. Пусть $d_1$ и $d_2$ – расстояния от центра шара до плоскостей первого и второго сечений соответственно. Радиус шара $R$, радиус сечения $r$ и расстояние $d$ от центра шара до плоскости сечения связаны соотношением $R^2 = r^2 + d^2$.

Таким образом, для наших сечений имеем два уравнения:
1) $R^2 = r_1^2 + d_1^2 = 64 + d_1^2$
2) $R^2 = r_2^2 + d_2^2 = 100 + d_2^2$

Из этих уравнений можно выразить $d_1^2$ и $d_2^2$:
$d_1^2 = R^2 - 64$
$d_2^2 = R^2 - 100$

Рассмотрим общую хорду длиной $L = 12 \text{ см}$. Пусть ее концы – точки $A$ и $B$. Расстояние от центра шара $O$ до любой точки на поверхности шара, например, до точки $A$, равно радиусу $R$.

Построим прямоугольную систему координат с началом в центре шара $O$. Так как плоскости сечений перпендикулярны, мы можем направить оси $Ox$ и $Oy$ так, чтобы они были параллельны этим плоскостям. Тогда перпендикуляры, опущенные из центра шара на плоскости сечений, будут лежать на осях координат. Пусть плоскость первого сечения задается уравнением $z = d_1$, а плоскость второго сечения – уравнением $y = d_2$.

Общая хорда $AB$ лежит на пересечении этих двух плоскостей, то есть ее координаты $y$ и $z$ постоянны и равны $d_2$ и $d_1$ соответственно. Длина хорды $L=12 \text{ см}$. Пусть середина хорды – точка $M$. Тогда $AM = L/2 = 6 \text{ см}$. Точка $M$ будет иметь координаты $(0, d_2, d_1)$, а точка $A$ – $(-6, d_2, d_1)$.

Квадрат расстояния от центра шара $O(0,0,0)$ до точки $A(-6, d_2, d_1)$ равен квадрату радиуса шара $R^2$:
$R^2 = (-6-0)^2 + (d_2-0)^2 + (d_1-0)^2$
$R^2 = 36 + d_2^2 + d_1^2$

Теперь подставим в это уравнение выражения для $d_1^2$ и $d_2^2$, которые мы нашли ранее:
$R^2 = 36 + (R^2 - 100) + (R^2 - 64)$

Решим полученное уравнение относительно $R^2$:
$R^2 = 36 + R^2 - 100 + R^2 - 64$
$R^2 = 2R^2 - 128$
$R^2 = 128$

Теперь найдем радиус $R$:
$R = \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2} \text{ см}$.

Ответ: $8\sqrt{2}$ см.