Номер 13.32, страница 125 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.32. Через точку $A$ проведены касательные к сфере. Расстояние от точки $A$ до точек касания равно 40 см, а до ближайшей к ней точки сферы — 20 см. Найдите длину линии, которая является геометрическим местом точек касания.

Пусть $O$ — центр сферы, а $R$ — ее радиус. Пусть $A$ — данная точка, из которой проведены касательные.

Пусть $T$ — любая точка касания на сфере. Тогда отрезок $AT$ является касательной, и по условию его длина $AT = 40$ см. Радиус $OT$, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной $AT$. Таким образом, треугольник $\triangle AOT$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $T$.

Ближайшая к точке $A$ точка сферы, назовем ее $B$, лежит на прямой, соединяющей точку $A$ с центром сферы $O$. Расстояние от $A$ до этой точки по условию равно $AB = 20$ см. Расстояние от точки $A$ до центра сферы $O$ равно $AO = AB + BO = 20 + R$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle AOT$ катеты равны $AT = 40$ см и $OT = R$, а гипотенуза равна $AO = 20 + R$. По теореме Пифагора: $AO^2 = AT^2 + OT^2$

Подставим известные значения в уравнение: $(20 + R)^2 = 40^2 + R^2$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $R$: $400 + 40R + R^2 = 1600 + R^2$ $400 + 40R = 1600$ $40R = 1600 - 400$ $40R = 1200$ $R = \frac{1200}{40} = 30$ см.

Таким образом, радиус сферы равен 30 см. Теперь мы можем найти расстояние от точки $A$ до центра сферы: $AO = 20 + R = 20 + 30 = 50$ см.

Геометрическим местом точек касания является окружность, которая лежит в плоскости, перпендикулярной отрезку $AO$. Радиус этой окружности, обозначим его $r$, является высотой прямоугольного треугольника $\triangle AOT$, опущенной из вершины прямого угла $T$ на гипотенузу $AO$.

Высоту $r$ можно найти, приравняв площади треугольника $\triangle AOT$, вычисленные разными способами: $S = \frac{1}{2} \cdot AT \cdot OT = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot r$ Отсюда следует: $AT \cdot OT = AO \cdot r$ $r = \frac{AT \cdot OT}{AO}$

Подставим численные значения: $r = \frac{40 \cdot 30}{50} = \frac{1200}{50} = 24$ см.

Искомая длина линии — это длина окружности (длина линии касания) с радиусом $r = 24$ см. Длина окружности $L$ вычисляется по формуле: $L = 2\pi r$ $L = 2 \cdot \pi \cdot 24 = 48\pi$ см.

Ответ: $48\pi$ см.