Номер 13.39, страница 126 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 13. Взаимное расположение сферы и плоскости. Глава 2. Тела вращения - номер 13.39, страница 126.

Условие.

13.39. Через точку $A$ проведены две прямые, касающиеся сферы с центром $O$ в точках $B$ и $C$. Плоскости $AOB$ и $AOC$ перпендикулярны, $AO = 9$ см, радиус сферы равен 6 см. Найдите расстояние между точками $B$ и $C$.

Решение 1.

Решение 3.

Поскольку прямые, проведенные через точку A, касаются сферы в точках B и C, радиусы сферы OB и OC, проведенные в точки касания, перпендикулярны этим касательным. То есть, $OB \perp AB$ и $OC \perp AC$.

Следовательно, треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle AOC$ являются прямоугольными, с прямыми углами $\angle ABO = 90^\circ$ и $\angle ACO = 90^\circ$.

В этих треугольниках нам известны:

• Гипотенуза $AO = 9$ см.
• Катеты $OB$ и $OC$ равны радиусу сферы, то есть $OB = OC = 6$ см.

Рассмотрим трехгранный угол с вершиной в точке O и ребрами OA, OB, OC. По условию, плоскости (AOB) и (AOC) перпендикулярны. Это означает, что двугранный угол при ребре OA равен $90^\circ$.

Воспользуемся первой теоремой косинусов для трехгранного угла, которая связывает его плоские углы и один из двугранных углов:

$\cos(\angle BOC) = \cos(\angle AOB) \cdot \cos(\angle AOC) + \sin(\angle AOB) \cdot \sin(\angle AOC) \cdot \cos(\alpha)$

где $\alpha$ — это двугранный угол между плоскостями AOB и AOC. Так как $\alpha = 90^\circ$, то $\cos(90^\circ) = 0$. Формула упрощается:

$\cos(\angle BOC) = \cos(\angle AOB) \cdot \cos(\angle AOC)$

Найдем косинусы плоских углов $\angle AOB$ и $\angle AOC$ из прямоугольных треугольников $\triangle AOB$ и $\triangle AOC$:

$\cos(\angle AOB) = \frac{OB}{AO} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

$\cos(\angle AOC) = \frac{OC}{AO} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

Теперь вычислим косинус угла $\angle BOC$:

$\cos(\angle BOC) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$

Наконец, рассмотрим треугольник $\triangle BOC$. Он является равнобедренным, так как $OB = OC = 6$ см. Чтобы найти длину стороны BC, применим теорему косинусов:

$BC^2 = OB^2 + OC^2 - 2 \cdot OB \cdot OC \cdot \cos(\angle BOC)$

Подставляем известные значения:

$BC^2 = 6^2 + 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \frac{4}{9}$

$BC^2 = 36 + 36 - 72 \cdot \frac{4}{9}$

$BC^2 = 72 - (72/9) \cdot 4 = 72 - 8 \cdot 4 = 72 - 32 = 40$

Отсюда находим длину BC:

$BC = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$ см.

Ответ: $2\sqrt{10}$ см.