Номер 13.43, страница 126 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.43. Дана сфера радиуса $r$ с центром $O$. Найдите ГМТ, через которые можно провести три попарно перпендикулярные прямые, касающиеся данной сферы.

Пусть дана сфера с центром в точке $O$ и радиусом $r$. Введем декартову систему координат с началом в точке $O$. Пусть $P$ — точка, принадлежащая искомому геометрическому месту точек (ГМТ), а $\vec{p} = \vec{OP}$ — ее радиус-вектор.

Через точку $P$ можно провести три попарно перпендикулярные прямые $l_1, l_2, l_3$, касающиеся данной сферы. Обозначим единичные направляющие векторы этих прямых как $\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}$. Поскольку прямые попарно перпендикулярны, векторы $\{\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}\}$ образуют ортонормированный базис в пространстве.

Прямая $l_i$, проходящая через точку $P$ с направляющим вектором $\vec{v_i}$, касается сферы тогда и только тогда, когда расстояние от центра сферы $O$ до этой прямой равно радиусу $r$. Расстояние от начала координат до прямой $l_i$ вычисляется по формуле:$d(O, l_i) = \frac{|\vec{p} \times \vec{v_i}|}{|\vec{v_i}|}$. Так как $\vec{v_i}$ — единичные векторы ($|\vec{v_i}| = 1$), условие касания для каждой прямой имеет вид:$|\vec{p} \times \vec{v_i}| = r$, или в квадрате: $|\vec{p} \times \vec{v_i}|^2 = r^2$.

Воспользуемся векторным тождеством $|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2$. Применительно к нашему случаю ($|\vec{v_i}|=1$), оно дает:$|\vec{p}|^2 - (\vec{p} \cdot \vec{v_i})^2 = r^2$. Это соотношение должно выполняться для всех трех прямых, т.е. для $i=1, 2, 3$:

$|\vec{p}|^2 - (\vec{p} \cdot \vec{v_1})^2 = r^2$
$|\vec{p}|^2 - (\vec{p} \cdot \vec{v_2})^2 = r^2$
$|\vec{p}|^2 - (\vec{p} \cdot \vec{v_3})^2 = r^2$

Сложим эти три уравнения:$3|\vec{p}|^2 - \left( (\vec{p} \cdot \vec{v_1})^2 + (\vec{p} \cdot \vec{v_2})^2 + (\vec{p} \cdot \vec{v_3})^2 \right) = 3r^2$.

Сумма квадратов проекций вектора на ортонормированный базис равна квадрату его длины:$(\vec{p} \cdot \vec{v_1})^2 + (\vec{p} \cdot \vec{v_2})^2 + (\vec{p} \cdot \vec{v_3})^2 = |\vec{p}|^2$.

Подставив это в предыдущее уравнение, получим:$3|\vec{p}|^2 - |\vec{p}|^2 = 3r^2$
$2|\vec{p}|^2 = 3r^2$
$|\vec{p}|^2 = \frac{3}{2}r^2$.

Отсюда следует, что расстояние от точки $P$ до центра сферы $O$ постоянно и равно $|\vec{p}| = \sqrt{\frac{3}{2}}r = \frac{r\sqrt{6}}{2}$. Таким образом, все точки искомого ГМТ лежат на сфере с центром в точке $O$ и радиусом $R = \frac{r\sqrt{6}}{2}$.

Теперь докажем обратное: любая точка $P$ на этой сфере принадлежит искомому ГМТ. Пусть точка $P$ такова, что $|\vec{OP}|^2 = \frac{3}{2}r^2$. Нам нужно показать, что существует ортонормированный базис $\{\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}\}$, для которого прямые, проходящие через $P$ с этими направляющими векторами, касаются сферы радиуса $r$. Условие касания, как мы выяснили, эквивалентно равенству $|\vec{p}|^2 - (\vec{p} \cdot \vec{v_i})^2 = r^2$. Подставим известное значение $|\vec{p}|^2$:$\frac{3}{2}r^2 - (\vec{p} \cdot \vec{v_i})^2 = r^2$
$(\vec{p} \cdot \vec{v_i})^2 = \frac{1}{2}r^2$.

Следовательно, задача сводится к тому, чтобы для любого вектора $\vec{p}$ с длиной $\sqrt{\frac{3}{2}}r$ найти ортонормированный базис $\{\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}\}$, такой что квадраты проекций $\vec{p}$ на каждый из базисных векторов равны $\frac{1}{2}r^2$. Сумма квадратов проекций в этом случае будет равна $3 \cdot \frac{1}{2}r^2 = \frac{3}{2}r^2$, что в точности совпадает с $|\vec{p}|^2$, так что условие непротиворечиво.

Такой базис всегда существует. Например, если выбрать систему координат так, чтобы вектор $\vec{p}$ был направлен вдоль оси $z$, то есть $\vec{p} = (0, 0, |\vec{p}|)$, то условие $(\vec{p} \cdot \vec{v_i})^2 = \frac{1}{2}r^2$ означает, что z-координаты базисных векторов $v_{iz}$ должны удовлетворять соотношению $(|\vec{p}| v_{iz})^2 = \frac{1}{2}r^2$, откуда $v_{iz}^2 = \frac{r^2/2}{|\vec{p}|^2} = \frac{r^2/2}{3r^2/2} = \frac{1}{3}$. Всегда можно построить ортонормированный базис, у которого z-компоненты векторов равны $\pm 1/\sqrt{3}$. В силу изотропности пространства, такой базис можно построить для любого направления вектора $\vec{p}$.

Таким образом, для любой точки $P$, лежащей на сфере радиуса $R = \frac{r\sqrt{6}}{2}$ с центром $O$, можно провести три попарно перпендикулярные касательные к исходной сфере.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это сфера, концентрическая данной, с радиусом $R = r\sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{r\sqrt{6}}{2}$.