Номер 13.44, страница 126 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.44. Прямая $m$ пересекает плоскость $\alpha$. Точки $A$ и $B$ принадлежат прямой $m$ и лежат в одном полупространстве относительно плоскости $\alpha$. Рассматриваются все сферы, проходящие через точки $A$ и $B$ и касающиеся плоскости $\alpha$. Докажите, что точки касания сфер с плоскостью $\alpha$ принадлежат одной окружности.

Пусть $S$ — произвольная сфера, проходящая через точки $A$ и $B$ и касающаяся плоскости $\alpha$. Пусть $T$ — точка касания сферы $S$ с плоскостью $\alpha$. По определению, точка $T$ принадлежит плоскости $\alpha$.

Рассмотрим прямую $m$, на которой лежат точки $A$ и $B$. По условию, прямая $m$ пересекает плоскость $\alpha$. Обозначим точку их пересечения через $P$, то есть $P = m \cap \alpha$.

Точка $P$ лежит на прямой $m$, которая является секущей для сферы $S$, поскольку сфера проходит через точки $A$ и $B$, лежащие на этой прямой. Согласно теореме о степени точки относительно сферы, степень точки $P$ относительно сферы $S$ равна произведению расстояний от точки $P$ до точек пересечения прямой $m$ со сферой. Таким образом, степень точки $P$ равна $PA \cdot PB$.

Так как точки $A$ и $B$ по условию лежат в одном полупространстве относительно плоскости $\alpha$, точка пересечения $P$ не находится между точками $A$ и $B$. Значение произведения $PA \cdot PB$ является постоянной положительной величиной, так как положение точек $P$, $A$ и $B$ фиксировано условием задачи.

С другой стороны, точка $P$ лежит в плоскости $\alpha$, которая является касательной к сфере $S$ в точке $T$. Прямая $PT$ также лежит в плоскости $\alpha$ и проходит через точку касания $T$. По свойству касательной плоскости, любая прямая, лежащая в ней и проходящая через точку касания, является касательной к сфере. Следовательно, прямая $PT$ — касательная к сфере $S$.

По теореме о касательной и секущей, степень точки $P$ относительно сферы $S$ также равна квадрату длины касательного отрезка, проведенного из точки $P$ к сфере. В нашем случае это $PT^2$.

Приравнивая два выражения для степени точки $P$ относительно сферы $S$, получаем равенство:$PT^2 = PA \cdot PB$.

Поскольку правая часть этого равенства является константой для всех рассматриваемых сфер, то и левая часть должна быть константой. Это означает, что расстояние от фиксированной точки $P$ до любой возможной точки касания $T$ является постоянной величиной, равной $\sqrt{PA \cdot PB}$.

Все точки касания $T$ лежат в плоскости $\alpha$ и равноудалены от фиксированной точки $P$ в той же плоскости. По определению, геометрическое место таких точек есть окружность.

Таким образом, доказано, что все точки касания сфер с плоскостью $\alpha$ принадлежат одной окружности. Эта окружность лежит в плоскости $\alpha$, ее центр — точка $P$ (пересечение прямой $m$ и плоскости $\alpha$), а ее радиус $r = \sqrt{PA \cdot PB}$.

Ответ: Доказано, что все точки касания рассматриваемых сфер с плоскостью $\alpha$ лежат на одной окружности. Эта окружность находится в плоскости $\alpha$, ее центром является точка пересечения прямой $m$ с плоскостью $\alpha$, а ее радиус равен квадратному корню из произведения расстояний от точки пересечения до точек $A$ и $B$.