Номер 13.35, страница 125 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.35. Две сферы, радиусы которых равны $R$ и $r$, касаются внешним образом. Прямая $a$ касается этих сфер в точках $A$ и $B$. Докажите, что

$AB = 2\sqrt{Rr}$.

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры сфер с радиусами $R$ и $r$ соответственно. Поскольку сферы касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме радиусов: $O_1O_2 = R + r$.

Прямая $a$ является общей касательной к сферам в точках $A$ и $B$. Радиусы, проведенные к точкам касания, перпендикулярны касательной прямой, то есть $O_1A \perp a$ и $O_2B \perp a$. Длины этих радиусов равны $O_1A = R$ и $O_2B = r$.

Так как отрезки $O_1A$ и $O_2B$ оба перпендикулярны одной и той же прямой $a$, они параллельны друг другу. Это означает, что точки $O_1, A, B, O_2$ лежат в одной плоскости и образуют прямоугольную трапецию $O_1ABO_2$ с основаниями $O_1A$ и $O_2B$. Отрезок $AB$ является высотой этой трапеции.

Для нахождения длины $AB$ опустим перпендикуляр из центра одной сферы (для определенности, пусть это будет $O_2$ с радиусом $r \le R$) на радиус $O_1A$. Назовем основание этого перпендикуляра точкой $C$. В результате этого построения мы получаем прямоугольник $CABO_2$ и прямоугольный треугольник $\triangle O_1CO_2$.

Из свойств прямоугольника $CABO_2$ следует, что $AB = CO_2$ и $AC = O_2B = r$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle O_1CO_2$. Его стороны имеют следующие длины:
- Гипотенуза $O_1O_2 = R + r$.
- Катет $O_1C = O_1A - AC = R - r$.
- Катет $CO_2$, который равен искомому отрезку $AB$.

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $\triangle O_1CO_2$:
$(O_1O_2)^2 = (O_1C)^2 + (CO_2)^2$
Подставим известные выражения для длин сторон:
$(R + r)^2 = (R - r)^2 + AB^2$

Теперь выразим $AB^2$:
$AB^2 = (R + r)^2 - (R - r)^2$
Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:
$AB^2 = (R^2 + 2Rr + r^2) - (R^2 - 2Rr + r^2) = R^2 + 2Rr + r^2 - R^2 + 2Rr - r^2 = 4Rr$

Отсюда, извлекая квадратный корень, получаем:
$AB = \sqrt{4Rr} = 2\sqrt{Rr}$
Что и требовалось доказать.

Ответ: $AB = 2\sqrt{Rr}$.