Номер 13.23, страница 125 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.23. Какая фигура является геометрическим местом центров сфер, которые:

1) касаются данной плоскости в данной точке;

2) имеют данный радиус и касаются данной плоскости?

1) Пусть дана плоскость $\alpha$ и точка $M$, лежащая в этой плоскости. Сфера касается плоскости $\alpha$ в точке $M$. Пусть $O$ — центр этой сферы, а $R$ — её радиус. По определению касания сферы и плоскости, они имеют только одну общую точку ($M$), и радиус, проведенный в точку касания ($OM$), перпендикулярен касательной плоскости.
Это означает, что центр сферы $O$ должен лежать на прямой, которая проходит через точку $M$ и перпендикулярна плоскости $\alpha$. Любая точка на этой прямой (кроме самой точки $M$) может быть центром сферы, касающейся плоскости $\alpha$ в точке $M$. Радиус такой сферы будет равен расстоянию от ее центра до точки $M$.
Таким образом, геометрическим местом центров таких сфер является прямая, проходящая через данную точку касания и перпендикулярная данной плоскости, за исключением самой точки касания. Однако, если рассматривать точку касания как центр сферы нулевого радиуса, то можно включить и её. В классической геометрии обычно имеют в виду всю прямую.
Ответ: Прямая, проходящая через данную точку и перпендикулярная данной плоскости.

2) Пусть дана плоскость $\alpha$ и радиус $R > 0$. Если сфера радиуса $R$ с центром в точке $O$ касается плоскости $\alpha$, то расстояние от центра сферы $O$ до плоскости $\alpha$ должно быть равно радиусу $R$.
Геометрическое место точек в пространстве, находящихся на заданном расстоянии $R$ от данной плоскости $\alpha$, представляет собой две плоскости, параллельные плоскости $\alpha$ и расположенные по разные стороны от нее на расстоянии $R$.
Каждая точка, принадлежащая одной из этих двух плоскостей, может служить центром сферы радиуса $R$, которая будет касаться данной плоскости $\alpha$.
Ответ: Две плоскости, параллельные данной плоскости и отстоящие от нее на расстояние, равное данному радиусу.