Номер 13.20, страница 124 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.20. На радиусе $OA$ сферы с центром $O$ отмечены точки $B$ и $C$, причём точка $B$ лежит между точками $O$ и $C$. Через каждую из точек $B$ и $C$ проведена плоскость, перпендикулярная прямой $OA$. Окружности, образовавшиеся в сечении, имеют длины $24\pi$ см и $18\pi$ см, а расстояние между этими плоскостями равно $3$ см. Найдите радиус сферы.

Пусть $R$ — радиус сферы, а $O$ — её центр. На радиусе $OA$ отмечены точки $B$ и $C$. Через эти точки проведены плоскости, перпендикулярные $OA$, которые образуют в сечении сферы окружности.

Пусть $r_B$ и $r_C$ — радиусы окружностей, образованных сечениями, проходящими через точки $B$ и $C$ соответственно. Длина окружности вычисляется по формуле $L = 2\pi r$.

Из условия известно, что длины окружностей равны $24\pi$ см и $18\pi$ см. Так как точка $B$ лежит между центром $O$ и точкой $C$ ($O-B-C$), то сечение, проходящее через точку $B$, находится ближе к центру сферы и, следовательно, имеет больший радиус.

Найдем радиусы окружностей в сечениях:
Для сечения через точку $B$: $L_B = 2\pi r_B = 24\pi$ см. Отсюда $r_B = \frac{24\pi}{2\pi} = 12$ см.
Для сечения через точку $C$: $L_C = 2\pi r_C = 18\pi$ см. Отсюда $r_C = \frac{18\pi}{2\pi} = 9$ см.

Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные в осевом сечении сферы. Катетами этих треугольников являются расстояние от центра сферы до плоскости сечения ($OB$ и $OC$) и радиусы сечений ($r_B$ и $r_C$), а гипотенузой — радиус сферы $R$.

По теореме Пифагора имеем два уравнения:
1) $R^2 = OB^2 + r_B^2$
2) $R^2 = OC^2 + r_C^2$

Подставим найденные значения $r_B$ и $r_C$:
1) $R^2 = OB^2 + 12^2 = OB^2 + 144$
2) $R^2 = OC^2 + 9^2 = OC^2 + 81$

Поскольку левые части уравнений равны, приравняем и правые части:
$OB^2 + 144 = OC^2 + 81$

Из условия известно, что расстояние между плоскостями равно 3 см, то есть $BC = 3$ см. Так как точка $B$ лежит между $O$ и $C$, то $OC = OB + BC = OB + 3$. Подставим это выражение в наше уравнение:
$OB^2 + 144 = (OB + 3)^2 + 81$
$OB^2 + 144 = OB^2 + 6 \cdot OB + 9 + 81$
$OB^2 + 144 = OB^2 + 6 \cdot OB + 90$

Сократим $OB^2$ в обеих частях и решим уравнение относительно $OB$:
$144 = 6 \cdot OB + 90$
$6 \cdot OB = 144 - 90$
$6 \cdot OB = 54$
$OB = 9$ см.

Теперь найдем радиус сферы $R$, подставив значение $OB$ в первое уравнение:
$R^2 = OB^2 + 144$
$R^2 = 9^2 + 144 = 81 + 144 = 225$
$R = \sqrt{225} = 15$ см.

Ответ: 15 см.