Номер 13.14, страница 124 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.14. Сфера, радиус которой равен $R$, касается граней двугранного угла, равного $\alpha$. Найдите расстояние от центра сферы до ребра двугранного угла.

Для решения задачи рассмотрим сечение, которое проходит через центр сферы и перпендикулярно ребру двугранного угла. В этом сечении мы получим окружность, вписанную в угол, равный линейному углу двугранного угла, то есть $\alpha$.

Пусть $O$ — центр сферы (и, соответственно, центр окружности в сечении), $R$ — её радиус. Пусть $A$ — точка на ребре двугранного угла, лежащая в плоскости сечения (вершина угла $\alpha$). Расстояние, которое нам нужно найти, — это длина отрезка $OA$.

Пусть грани двугранного угла касаются сферы в точках $B$ и $C$. В нашем сечении это будут точки касания окружности сторон угла. Проведём радиусы $OB$ и $OC$ к точкам касания. По свойству касательной, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, $OB \perp AB$ и $OC \perp AC$, где $AB$ и $AC$ — лучи, образующие угол $\alpha$ в сечении. Длины этих радиусов равны $R$, то есть $OB = OC = R$.

Центр вписанной в угол окружности лежит на биссектрисе этого угла. Следовательно, луч $AO$ — биссектриса угла $\alpha$. Это означает, что угол $\angle OAB$ равен половине угла $\alpha$:

$\angle OAB = \frac{\alpha}{2}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OAB$ (с прямым углом при вершине $B$). В этом треугольнике:

• $OB = R$ — катет, противолежащий углу $\angle OAB$.
• $OA$ — гипотенуза, которую мы ищем.

По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике:

$\sin(\angle OAB) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{OB}{OA}$

Подставим известные значения:

$\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{R}{OA}$

Из этого соотношения выразим искомое расстояние $OA$:

$OA = \frac{R}{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$

Ответ: $\frac{R}{\sin(\alpha/2)}$