Номер 13.10, страница 124 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.10. Найдите длину линии пересечения сферы с плоскостью, удалённой от центра сферы на 2 см, если радиус сферы, проведённый в одну из точек сечения, образует с плоскостью сечения угол 30°.

Линия пересечения сферы с плоскостью является окружностью. Чтобы найти длину этой линии, необходимо вычислить длину данной окружности по формуле $C = 2\pi r$, где $r$ — радиус этой окружности.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом сферы $R$, радиусом окружности сечения $r$ и расстоянием от центра сферы до плоскости сечения $d$. В этом треугольнике:

• катет $d$ — это расстояние от центра сферы до плоскости, по условию $d=2$ см;
• катет $r$ — это радиус окружности сечения, который нам нужно найти;
• гипотенуза $R$ — это радиус сферы.

Угол между радиусом сферы, проведенным в точку сечения, и плоскостью сечения по условию равен $30^\circ$. В рассматриваемом прямоугольном треугольнике этот угол $\alpha$ находится между гипотенузой $R$ и катетом $r$. Катет $d=2$ см является противолежащим этому углу.

Используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике, мы можем связать известный катет $d$, искомый катет $r$ и известный угол $\alpha$:$\tan(\alpha) = \frac{d}{r}$

Подставим известные значения: $\alpha = 30^\circ$ и $d = 2$ см.$\tan(30^\circ) = \frac{2}{r}$

Выразим и найдем радиус сечения $r$:$r = \frac{2}{\tan(30^\circ)}$

Поскольку $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, получаем:$r = \frac{2}{1/\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь, зная радиус окружности сечения, мы можем найти ее длину $C$:$C = 2\pi r = 2\pi \cdot 2\sqrt{3} = 4\pi\sqrt{3}$ см.

Ответ: $4\pi\sqrt{3}$ см.