Номер 13.4, страница 123 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.4. Сколько плоскостей, касающихся сферы, можно провести через точку:

1) принадлежащую этой сфере;

2) расположенную вне сферы?

1) принадлежащую этой сфере

Пусть дана сфера с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть точка $A$ принадлежит этой сфере. Касательная плоскость к сфере в точке $A$ по определению имеет со сферой только одну общую точку — точку $A$. Основное свойство касательной плоскости заключается в том, что она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Таким образом, искомая касательная плоскость должна проходить через точку $A$ и быть перпендикулярной радиусу $OA$. В стереометрии доказывается теорема (являющаяся следствием из аксиом), что через любую точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой. В нашем случае через точку $A$ можно провести только одну плоскость, перпендикулярную прямой $OA$. Следовательно, через точку, принадлежащую сфере, можно провести только одну плоскость, касающуюся этой сферы.

Ответ: одну.

2) расположенную вне сферы

Пусть дана сфера с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть точка $P$ расположена вне сферы, то есть расстояние от центра сферы до этой точки больше радиуса: $OP > R$. Пусть $\alpha$ — это плоскость, которая проходит через точку $P$ и касается сферы в точке $A$. По свойству касательной плоскости, радиус $OA$ перпендикулярен этой плоскости $\alpha$. Поскольку точки $P$ и $A$ лежат в плоскости $\alpha$, то и прямая $PA$ целиком лежит в этой плоскости. Из того, что прямая $OA$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, следует, что прямая $OA$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$ и проходящей через точку $A$. В частности, $OA \perp PA$. Это означает, что треугольник $\triangle OAP$ является прямоугольным, с прямым углом при вершине $A$. Геометрическое место точек $A$, для которых треугольник $\triangle OAP$ является прямоугольным, представляет собой окружность. Эта окружность является линией пересечения данной сферы и сферы, построенной на отрезке $OP$ как на диаметре. Для каждой точки $A$, принадлежащей этой окружности касания, существует единственная касательная плоскость к сфере (перпендикулярная радиусу $OA$). Как мы показали, эта плоскость будет содержать прямую $PA$, а значит, и точку $P$. Так как на окружности касания существует бесконечное множество точек, то через точку, расположенную вне сферы, можно провести бесконечное множество плоскостей, касающихся этой сферы. Совокупность всех таких касательных плоскостей образует коническую поверхность (конус), вершиной которого является точка $P$, а основанием — окружность касания на сфере.

Ответ: бесконечно много.