Страница 123 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.1. Даны сфера радиуса 6 см и плоскость $\alpha$. Каким должно быть расстояние от центра сферы до плоскости $\alpha$, чтобы:

1) сфера и плоскость не имели общих точек;

2) сфера и плоскость имели одну общую точку;

3) пересечением сферы и плоскости являлась окружность;

4) пересечением сферы и плоскости являлась окружность наибольшей возможной длины?

1) сфера и плоскость не имели общих точек;
Чтобы сфера и плоскость не имели общих точек, расстояние от центра сферы до плоскости, обозначим его $d$, должно быть больше радиуса сферы $R$. Поскольку радиус сферы $R = 6$ см, то условие отсутствия общих точек выражается неравенством:
$d > R$
$d > 6$ см.
Ответ: расстояние должно быть больше 6 см.

2) сфера и плоскость имели одну общую точку;
Сфера и плоскость имеют одну общую точку (касаются друг друга) в том случае, когда расстояние от центра сферы до плоскости $d$ равно радиусу сферы $R$.
$d = R$
$d = 6$ см.
Ответ: расстояние должно быть равно 6 см.

3) пересечением сферы и плоскости являлась окружность;
Если плоскость пересекает сферу, то в сечении образуется окружность. Это происходит, когда расстояние от центра сферы до плоскости $d$ меньше радиуса сферы $R$. Расстояние не может быть отрицательным, поэтому оно должно быть больше или равно нулю.
$0 \le d < R$
$0 \le d < 6$ см.
Ответ: расстояние должно быть меньше 6 см (но больше или равно 0).

4) пересечением сферы и плоскости являлась окружность наибольшей возможной длины?
Длина окружности в сечении зависит от её радиуса $r$. Радиус окружности сечения $r$, расстояние от центра сферы до плоскости $d$ и радиус сферы $R$ связаны соотношением по теореме Пифагора: $R^2 = d^2 + r^2$. Отсюда $r = \sqrt{R^2 - d^2}$.
Чтобы длина окружности ($L = 2\pi r$) была наибольшей, её радиус $r$ должен быть максимальным. Радиус $r$ будет максимальным, когда вычитаемое $d^2$ будет минимальным. Минимально возможное значение для расстояния $d$ равно нулю.
При $d = 0$ радиус сечения $r = \sqrt{R^2 - 0^2} = R = 6$ см. Это означает, что плоскость проходит через центр сферы, а окружность в сечении является так называемым большим кругом сферы.
Ответ: расстояние должно быть равно 0 см.

13.2. Диаметр сферы равен 20 см, а расстояние от её центра до плоскости $\alpha$ равно 12 см. Имеют ли данная сфера и плоскость $\alpha$ общие точки?

Чтобы определить, имеют ли сфера и плоскость общие точки, необходимо сравнить радиус сферы ($R$) с расстоянием от её центра до плоскости ($h$).

Нахождение радиуса сферы

Диаметр сферы по условию равен $d = 20$ см. Радиус сферы равен половине диаметра:

$R = \frac{d}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

Сравнение радиуса с расстоянием до плоскости

Расстояние от центра сферы до плоскости $\alpha$ дано в условии: $h = 12$ см.

Теперь сравним вычисленный радиус $R$ и данное расстояние $h$:

$h = 12$ см, а $R = 10$ см.

Так как $12 > 10$, то расстояние от центра сферы до плоскости больше её радиуса ($h > R$).

Вывод

Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса, то сфера и плоскость не имеют общих точек. В данном случае это условие выполняется, следовательно, сфера и плоскость $\alpha$ не пересекаются и не касаются друг друга.

Ответ: нет, данная сфера и плоскость $\alpha$ не имеют общих точек.

13.3. 1) Какая географическая параллель является большой окружностью земного шара?

2) Найдите длину полярного круга Земли, приняв, что радиус Земли равен 6400 км. Ответ округлите до тысяч километров.

3) Вычислите путь, который проделывает вследствие вращения Земли вокруг её оси за сутки населённый пункт, в котором вы живёте.

1) Большой окружностью сферы (в данном случае, земного шара) называется окружность, плоскость которой проходит через центр сферы. Из всех географических параллелей только экватор является большой окружностью, так как его плоскость делит Землю на два равных полушария и проходит через её центр. Все остальные параллели (тропики, полярные круги и др.) являются малыми окружностями.

Ответ: экватор.

2) Длина полярного круга — это длина окружности параллели, расположенной на широте $\phi \approx 66.5^{\circ}$. Для её вычисления необходимо найти радиус этой параллели ($r$), зная радиус Земли ($R = 6400$ км).

Радиус параллели на широте $\phi$ вычисляется по формуле:

$r = R \cdot \cos(\phi)$

Подставим значения, где $\phi = 66.5^{\circ}$:

$r = 6400 \text{ км} \cdot \cos(66.5^{\circ}) \approx 6400 \text{ км} \cdot 0.3987 \approx 2552 \text{ км}$

Теперь вычислим длину полярного круга (длину окружности) по формуле $L = 2\pi r$:

$L = 2 \cdot \pi \cdot 2552 \text{ км} \approx 16034 \text{ км}$

Согласно условию, ответ необходимо округлить до тысяч километров.

$16034 \text{ км} \approx 16000 \text{ км}$

Ответ: 16000 км.

3) Путь, который проделывает населённый пункт за сутки вследствие вращения Земли, равен длине географической параллели, на которой он находится. Этот путь зависит от широты ($\phi$) местности. Расчёт будет произведён на примере города Москвы, географическая широта которого составляет примерно $56^{\circ}$ с.ш.

Радиус Земли $R = 6400$ км.

Сначала найдём радиус параллели, на которой находится Москва, по формуле $r = R \cdot \cos(\phi)$:

$r = 6400 \text{ км} \cdot \cos(56^{\circ}) \approx 6400 \text{ км} \cdot 0.5592 \approx 3579 \text{ км}$

Далее вычислим длину этой параллели, которая и будет искомым путём за сутки ($L = 2\pi r$):

$L = 2 \cdot \pi \cdot 3579 \text{ км} \approx 22486 \text{ км}$

(Примечание: для вашего населённого пункта результат будет другим, если его широта отличается от $56^{\circ}$).

Ответ: около 22486 км (для населённого пункта на широте $56^{\circ}$, например, Москвы).

13.4. Сколько плоскостей, касающихся сферы, можно провести через точку:

1) принадлежащую этой сфере;

2) расположенную вне сферы?

1) принадлежащую этой сфере

Пусть дана сфера с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть точка $A$ принадлежит этой сфере. Касательная плоскость к сфере в точке $A$ по определению имеет со сферой только одну общую точку — точку $A$. Основное свойство касательной плоскости заключается в том, что она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Таким образом, искомая касательная плоскость должна проходить через точку $A$ и быть перпендикулярной радиусу $OA$. В стереометрии доказывается теорема (являющаяся следствием из аксиом), что через любую точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой. В нашем случае через точку $A$ можно провести только одну плоскость, перпендикулярную прямой $OA$. Следовательно, через точку, принадлежащую сфере, можно провести только одну плоскость, касающуюся этой сферы.

Ответ: одну.

2) расположенную вне сферы

Пусть дана сфера с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть точка $P$ расположена вне сферы, то есть расстояние от центра сферы до этой точки больше радиуса: $OP > R$. Пусть $\alpha$ — это плоскость, которая проходит через точку $P$ и касается сферы в точке $A$. По свойству касательной плоскости, радиус $OA$ перпендикулярен этой плоскости $\alpha$. Поскольку точки $P$ и $A$ лежат в плоскости $\alpha$, то и прямая $PA$ целиком лежит в этой плоскости. Из того, что прямая $OA$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, следует, что прямая $OA$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$ и проходящей через точку $A$. В частности, $OA \perp PA$. Это означает, что треугольник $\triangle OAP$ является прямоугольным, с прямым углом при вершине $A$. Геометрическое место точек $A$, для которых треугольник $\triangle OAP$ является прямоугольным, представляет собой окружность. Эта окружность является линией пересечения данной сферы и сферы, построенной на отрезке $OP$ как на диаметре. Для каждой точки $A$, принадлежащей этой окружности касания, существует единственная касательная плоскость к сфере (перпендикулярная радиусу $OA$). Как мы показали, эта плоскость будет содержать прямую $PA$, а значит, и точку $P$. Так как на окружности касания существует бесконечное множество точек, то через точку, расположенную вне сферы, можно провести бесконечное множество плоскостей, касающихся этой сферы. Совокупность всех таких касательных плоскостей образует коническую поверхность (конус), вершиной которого является точка $P$, а основанием — окружность касания на сфере.

Ответ: бесконечно много.

13.5. Сколько прямых, касающихся сферы, можно провести через точку:

1) принадлежащую этой сфере;

2) расположенную вне сферы?

1) принадлежащую этой сфере;

Пусть дана сфера с центром в точке $O$ и точка $A$, принадлежащая этой сфере. Через любую точку на поверхности сферы можно провести касательную плоскость. Касательная плоскость $\alpha$ имеет со сферой только одну общую точку — точку касания $A$.

Любая прямая, проходящая через точку $A$ и лежащая в этой касательной плоскости $\alpha$, будет иметь со сферой ровно одну общую точку $A$. По определению, такая прямая является касательной к сфере.

В плоскости $\alpha$ через точку $A$ можно провести бесконечное множество различных прямых. Все эти прямые будут касательными к сфере.

Ответ: через точку, принадлежащую этой сфере, можно провести бесконечное множество прямых, касающихся сферы.

2) расположенную вне сферы?

Пусть дана сфера с центром в точке $O$ и радиусом $R$, и точка $P$, расположенная вне сферы. Это означает, что расстояние от точки $P$ до центра сферы больше радиуса: $OP > R$.

Рассмотрим сечение сферы плоскостью, проходящей через центр сферы $O$ и точку $P$. В сечении мы получим большую окружность сферы и точку $P$ вне этой окружности. Из геометрии на плоскости мы знаем, что из точки $P$ можно провести две касательные к этой окружности.

Теперь вернемся к трехмерному пространству. Множество всех прямых, проходящих через точку $P$ и касающихся сферы, образуют поверхность конуса. Вершиной этого конуса является точка $P$, а основанием — окружность на сфере, состоящая из всех точек касания.

Каждая образующая этого конуса является прямой, проходящей через точку $P$ и касающейся сферы. Так как окружность, являющаяся основанием конуса, содержит бесконечное множество точек, то и число образующих конуса (а значит, и число касательных прямых к сфере, проходящих через точку $P$) также бесконечно.

Ответ: через точку, расположенную вне сферы, можно провести бесконечное множество прямых, касающихся сферы.

13.6. Докажите, что если плоскость $\alpha$ пересекает сферу с центром в точке $O$ по окружности с центром в точке $O_1$, то $OO_1 \perp \alpha$.

13.6.

Пусть дана сфера с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Плоскость $\alpha$ пересекает эту сферу. По условию, сечением является окружность с центром в точке $O_1$. Требуется доказать, что прямая $OO_1$ перпендикулярна плоскости $\alpha$.

Для доказательства опустим перпендикуляр из центра сферы $O$ на плоскость $\alpha$. Обозначим основание этого перпендикуляра точкой $H$. По построению, отрезок $OH$ перпендикулярен плоскости $\alpha$ ($OH \perp \alpha$). Наша задача — показать, что точка $H$ совпадает с точкой $O_1$.

Возьмем любую точку $A$, принадлежащую линии пересечения (окружности). Так как точка $A$ лежит на линии пересечения, она принадлежит как сфере, так и плоскости $\alpha$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OHA$. Поскольку $OH \perp \alpha$, а прямая $HA$ лежит в плоскости $\alpha$ и проходит через точку $H$, то $OH$ перпендикулярен $HA$. Таким образом, $\triangle OHA$ — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине $H$.

Согласно теореме Пифагора для $\triangle OHA$ справедливо равенство: $OA^2 = OH^2 + HA^2$.

Точка $A$ находится на поверхности сферы, поэтому ее расстояние до центра $O$ равно радиусу сферы $R$, то есть $OA = R$. Подставим это значение в уравнение: $R^2 = OH^2 + HA^2$.

Из этого соотношения выразим квадрат длины отрезка $HA$: $HA^2 = R^2 - OH^2$.

Величина радиуса $R$ является постоянной для данной сферы. Длина перпендикуляра $OH$ от точки $O$ до плоскости $\alpha$ также является постоянной величиной. Следовательно, выражение $R^2 - OH^2$ есть константа.

Это означает, что для любой точки $A$ на линии пересечения расстояние $HA$ до точки $H$ постоянно. По определению, геометрическое место точек в плоскости, равноудаленных от фиксированной точки в той же плоскости, есть окружность с центром в этой фиксированной точке. Следовательно, линия пересечения является окружностью с центром в точке $H$.

По условию задачи, центром окружности сечения является точка $O_1$. Так как окружность в плоскости имеет единственный центр, то точка $H$ должна совпадать с точкой $O_1$.

Поскольку $H = O_1$ и по построению $OH \perp \alpha$, мы заключаем, что $OO_1 \perp \alpha$. Утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что $OO_1 \perp \alpha$.

13.7. Сфера пересечена плоскостью, расстояние от которой до центра сферы равно 6 см. Длина линии пересечения сферы с плоскостью равна $16\pi$ см. Найдите радиус сферы.

При пересечении сферы плоскостью в сечении образуется окружность. Длина линии пересечения, данная в условии, является длиной этой окружности.

Обозначим радиус сферы как $R$, расстояние от центра сферы до секущей плоскости как $d$, и радиус окружности в сечении как $r$. Эти величины связаны между собой через прямоугольный треугольник, где радиус сферы $R$ является гипотенузой, а расстояние $d$ и радиус сечения $r$ — катетами. Согласно теореме Пифагора:
$R^2 = d^2 + r^2$

Из условия задачи нам известно:
Расстояние от центра сферы до плоскости: $d = 6$ см.
Длина окружности в сечении: $C = 16\pi$ см.

Сначала найдем радиус сечения $r$. Длина окружности вычисляется по формуле $C = 2\pi r$. Подставим известное значение $C$:
$16\pi = 2\pi r$
Чтобы найти $r$, разделим обе части уравнения на $2\pi$:
$r = \frac{16\pi}{2\pi} = 8$ см.

Теперь мы можем найти радиус сферы $R$, используя теорему Пифагора. Подставим известные значения $d=6$ см и $r=8$ см в формулу:
$R^2 = 6^2 + 8^2$
$R^2 = 36 + 64$
$R^2 = 100$
$R = \sqrt{100} = 10$ см.

Ответ: 10 см.

13.8. Пересечением шара радиуса $13$ см и плоскости является круг, площадь которого равна $25\pi$ см$^2$. Найдите расстояние от центра шара до плоскости сечения.

Пусть $R$ — радиус шара, $r$ — радиус круга, полученного в сечении, а $d$ — искомое расстояние от центра шара до плоскости сечения.

По условию задачи, радиус шара $R = 13$ см, а площадь круга в сечении $S = 25\pi$ см².

Сначала найдем радиус круга $r$ из формулы площади круга $S = \pi r^2$:
$25\pi = \pi r^2$
$r^2 = 25$
$r = \sqrt{25} = 5$ см.

Радиус шара $R$, радиус сечения $r$ и расстояние от центра шара до плоскости сечения $d$ образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике гипотенузой является радиус шара $R$, а катетами — радиус сечения $r$ и расстояние $d$.

По теореме Пифагора:
$R^2 = r^2 + d^2$

Выразим из этого уравнения $d$:
$d^2 = R^2 - r^2$

Подставим известные значения $R = 13$ и $r = 5$:
$d^2 = 13^2 - 5^2$
$d^2 = 169 - 25$
$d^2 = 144$
$d = \sqrt{144} = 12$ см.

Ответ: 12 см.