Номер 13.1, страница 123 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.1. Даны сфера радиуса 6 см и плоскость $\alpha$. Каким должно быть расстояние от центра сферы до плоскости $\alpha$, чтобы:

1) сфера и плоскость не имели общих точек;

2) сфера и плоскость имели одну общую точку;

3) пересечением сферы и плоскости являлась окружность;

4) пересечением сферы и плоскости являлась окружность наибольшей возможной длины?

1) сфера и плоскость не имели общих точек;
Чтобы сфера и плоскость не имели общих точек, расстояние от центра сферы до плоскости, обозначим его $d$, должно быть больше радиуса сферы $R$. Поскольку радиус сферы $R = 6$ см, то условие отсутствия общих точек выражается неравенством:
$d > R$
$d > 6$ см.
Ответ: расстояние должно быть больше 6 см.

2) сфера и плоскость имели одну общую точку;
Сфера и плоскость имеют одну общую точку (касаются друг друга) в том случае, когда расстояние от центра сферы до плоскости $d$ равно радиусу сферы $R$.
$d = R$
$d = 6$ см.
Ответ: расстояние должно быть равно 6 см.

3) пересечением сферы и плоскости являлась окружность;
Если плоскость пересекает сферу, то в сечении образуется окружность. Это происходит, когда расстояние от центра сферы до плоскости $d$ меньше радиуса сферы $R$. Расстояние не может быть отрицательным, поэтому оно должно быть больше или равно нулю.
$0 \le d < R$
$0 \le d < 6$ см.
Ответ: расстояние должно быть меньше 6 см (но больше или равно 0).

4) пересечением сферы и плоскости являлась окружность наибольшей возможной длины?
Длина окружности в сечении зависит от её радиуса $r$. Радиус окружности сечения $r$, расстояние от центра сферы до плоскости $d$ и радиус сферы $R$ связаны соотношением по теореме Пифагора: $R^2 = d^2 + r^2$. Отсюда $r = \sqrt{R^2 - d^2}$.
Чтобы длина окружности ($L = 2\pi r$) была наибольшей, её радиус $r$ должен быть максимальным. Радиус $r$ будет максимальным, когда вычитаемое $d^2$ будет минимальным. Минимально возможное значение для расстояния $d$ равно нулю.
При $d = 0$ радиус сечения $r = \sqrt{R^2 - 0^2} = R = 6$ см. Это означает, что плоскость проходит через центр сферы, а окружность в сечении является так называемым большим кругом сферы.
Ответ: расстояние должно быть равно 0 см.