Номер 12.24, страница 115 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.24. Даны точки $A$ и $B$. Найдите геометрическое место точек $X$ таких, что $XA = 2XB$.

Для решения этой задачи введем систему координат. Пусть точки A и B лежат на оси Ox. Для удобства вычислений поместим точку B в начало координат, а точку A — в точку с положительной координатой. Пусть расстояние между точками A и B равно $d$, т.е. $|AB| = d$. Тогда координаты точек будут $B(0, 0)$ и $A(d, 0)$.

Пусть $X(x, y)$ — произвольная точка искомого геометрического места. Расстояние от точки X до точки A, обозначаемое $XA$, и расстояние от точки X до точки B, обозначаемое $XB$, вычисляются по формуле расстояния между двумя точками:

$XA = \sqrt{(x - d)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{(x - d)^2 + y^2}$

$XB = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$

Согласно условию задачи, $XA = 2XB$. Чтобы избавиться от иррациональности, возведем обе части уравнения в квадрат:

$XA^2 = (2XB)^2$

$XA^2 = 4XB^2$

Подставим выражения для квадратов расстояний:

$(x - d)^2 + y^2 = 4(x^2 + y^2)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 2dx + d^2 + y^2 = 4x^2 + 4y^2$

$3x^2 + 2dx + 3y^2 - d^2 = 0$

Разделим все уравнение на 3:

$x^2 + \frac{2d}{3}x + y^2 - \frac{d^2}{3} = 0$

Данное уравнение является уравнением окружности. Чтобы найти ее центр и радиус, выделим полный квадрат для переменной $x$:

$(x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{d}{3} + (\frac{d}{3})^2) - (\frac{d}{3})^2 + y^2 - \frac{d^2}{3} = 0$

$(x + \frac{d}{3})^2 + y^2 = \frac{d^2}{9} + \frac{d^2}{3}$

$(x + \frac{d}{3})^2 + y^2 = \frac{d^2}{9} + \frac{3d^2}{9}$

$(x + \frac{d}{3})^2 + y^2 = \frac{4d^2}{9}$

Полученное уравнение — это каноническое уравнение окружности вида $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0)$ — координаты центра, а $R$ — радиус.

Из нашего уравнения следует, что центр окружности $O$ имеет координаты $(-\frac{d}{3}, 0)$, а радиус $R = \sqrt{\frac{4d^2}{9}} = \frac{2d}{3}$.

Таким образом, искомое геометрическое место точек X — это окружность. Определим ее положение относительно точек A и B. Центр окружности $O(-\frac{d}{3}, 0)$ лежит на прямой, проходящей через точки $A(d, 0)$ и $B(0, 0)$, то есть на прямой AB. Так как координата центра $x_0 = -\frac{d}{3}$ является отрицательной, а координата точки B равна 0, центр O находится на продолжении отрезка BA за точку B. Расстояние от центра O до точки B равно $|0 - (-\frac{d}{3})| = \frac{d}{3}$. Так как $d = |AB|$, то расстояние от центра до точки B равно $\frac{1}{3}|AB|$. Радиус окружности равен $\frac{2d}{3}$, то есть $\frac{2}{3}|AB|$.

Такая окружность известна как окружность Аполлония.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это окружность с центром $O$ на прямой $AB$ и радиусом $R$. Центр $O$ расположен на продолжении отрезка $BA$ за точку $B$ на расстоянии $\frac{1}{3}|AB|$ от точки $B$. Радиус окружности $R = \frac{2}{3}|AB|$.