Номер 13.5, страница 123 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.5. Сколько прямых, касающихся сферы, можно провести через точку:

1) принадлежащую этой сфере;

2) расположенную вне сферы?

1) принадлежащую этой сфере;

Пусть дана сфера с центром в точке $O$ и точка $A$, принадлежащая этой сфере. Через любую точку на поверхности сферы можно провести касательную плоскость. Касательная плоскость $\alpha$ имеет со сферой только одну общую точку — точку касания $A$.

Любая прямая, проходящая через точку $A$ и лежащая в этой касательной плоскости $\alpha$, будет иметь со сферой ровно одну общую точку $A$. По определению, такая прямая является касательной к сфере.

В плоскости $\alpha$ через точку $A$ можно провести бесконечное множество различных прямых. Все эти прямые будут касательными к сфере.

Ответ: через точку, принадлежащую этой сфере, можно провести бесконечное множество прямых, касающихся сферы.

2) расположенную вне сферы?

Пусть дана сфера с центром в точке $O$ и радиусом $R$, и точка $P$, расположенная вне сферы. Это означает, что расстояние от точки $P$ до центра сферы больше радиуса: $OP > R$.

Рассмотрим сечение сферы плоскостью, проходящей через центр сферы $O$ и точку $P$. В сечении мы получим большую окружность сферы и точку $P$ вне этой окружности. Из геометрии на плоскости мы знаем, что из точки $P$ можно провести две касательные к этой окружности.

Теперь вернемся к трехмерному пространству. Множество всех прямых, проходящих через точку $P$ и касающихся сферы, образуют поверхность конуса. Вершиной этого конуса является точка $P$, а основанием — окружность на сфере, состоящая из всех точек касания.

Каждая образующая этого конуса является прямой, проходящей через точку $P$ и касающейся сферы. Так как окружность, являющаяся основанием конуса, содержит бесконечное множество точек, то и число образующих конуса (а значит, и число касательных прямых к сфере, проходящих через точку $P$) также бесконечно.

Ответ: через точку, расположенную вне сферы, можно провести бесконечное множество прямых, касающихся сферы.