Номер 13.9, страница 124 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.9. Через конец диаметра шара радиуса $R$ проведена плоскость, образующая с этим диаметром угол $\alpha$, $\alpha \neq 90^\circ$. Найдите площадь образовавшегося сечения шара.

Пусть дан шар с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть $AB$ — его диаметр. Через точку $A$ (конец диаметра) проведена плоскость $\Pi$, образующая с диаметром $AB$ угол $\alpha$.

Сечением шара плоскостью является круг. Для того чтобы найти площадь этого круга, необходимо определить его радиус, который мы обозначим как $r$. Площадь сечения $S$ вычисляется по формуле $S = \pi r^2$.

Радиус круга сечения $r$ связан с радиусом шара $R$ и расстоянием $d$ от центра шара $O$ до плоскости сечения $\Pi$ соотношением, которое следует из теоремы Пифагора: $r^2 + d^2 = R^2$. Отсюда $r^2 = R^2 - d^2$.

Чтобы найти $r^2$, нам нужно найти расстояние $d$. Опустим перпендикуляр из центра шара $O$ на плоскость $\Pi$. Пусть $C$ — основание этого перпендикуляра. Тогда длина отрезка $OC$ равна искомому расстоянию $d$, то есть $OC = d$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAC$. Поскольку $OC$ — перпендикуляр к плоскости $\Pi$, а прямая $AC$ лежит в этой плоскости и проходит через точку $C$, то $OC \perp AC$. Следовательно, треугольник $\triangle OAC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.

В этом треугольнике гипотенузой является отрезок $OA$, который представляет собой радиус шара, поэтому $OA = R$. Катет $OC$ равен $d$.

Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Прямая $AC$ является проекцией прямой $OA$ на плоскость $\Pi$. Следовательно, угол $\angle OAC$ — это угол между прямой $OA$ (которая является частью диаметра) и плоскостью $\Pi$. По условию задачи этот угол равен $\alpha$. Таким образом, $\angle OAC = \alpha$.

Из прямоугольного треугольника $\triangle OAC$ имеем соотношение для синуса угла $\alpha$:
$\sin \alpha = \frac{OC}{OA}$

Подставляя известные значения, получаем:
$\sin \alpha = \frac{d}{R}$

Отсюда выражаем расстояние $d$:
$d = R \sin \alpha$.

Теперь мы можем найти квадрат радиуса сечения $r^2$, подставив выражение для $d$ в формулу $r^2 = R^2 - d^2$:
$r^2 = R^2 - (R \sin \alpha)^2 = R^2 - R^2 \sin^2 \alpha$

Вынесем $R^2$ за скобки:
$r^2 = R^2 (1 - \sin^2 \alpha)$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$.
Таким образом:
$r^2 = R^2 \cos^2 \alpha$.

Наконец, находим площадь сечения $S$:
$S = \pi r^2 = \pi (R^2 \cos^2 \alpha) = \pi R^2 \cos^2 \alpha$.

Ответ: $\pi R^2 \cos^2 \alpha$.