Номер 13.12, страница 124 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.12 Докажите, что из двух сечений сферы больший радиус имеет сечение, плоскость которого менее удалена от центра сферы.

Рассмотрим сферу с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Любое сечение сферы плоскостью является окружностью (или точкой, если плоскость касается сферы, или пустым множеством). Пусть у нас есть два различных сечения, образованных плоскостями $\alpha_1$ и $\alpha_2$.

Пусть $r_1$ — радиус сечения, образованного плоскостью $\alpha_1$, а $d_1$ — расстояние от центра сферы $O$ до этой плоскости.

Пусть $r_2$ — радиус сечения, образованного плоскостью $\alpha_2$, а $d_2$ — расстояние от центра сферы $O$ до этой плоскости.

Радиус сферы $R$, радиус сечения $r$ и расстояние от центра сферы до плоскости сечения $d$ связаны соотношением, которое следует из теоремы Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник, где гипотенузой является радиус сферы $R$ (отрезок, соединяющий центр сферы с любой точкой на окружности сечения), а катетами — радиус сечения $r$ и расстояние $d$.

Для любого сечения выполняется равенство:

$R^2 = d^2 + r^2$

Из этого равенства мы можем выразить квадрат радиуса сечения:

$r^2 = R^2 - d^2$

Применим эту формулу к двум нашим сечениям:

$r_1^2 = R^2 - d_1^2$

$r_2^2 = R^2 - d_2^2$

По условию задачи, плоскость одного сечения менее удалена от центра сферы, чем плоскость другого. Без ограничения общности, пусть плоскость $\alpha_1$ находится ближе к центру, чем плоскость $\alpha_2$. Это означает, что:

$d_1 < d_2$

Поскольку $d_1$ и $d_2$ — это расстояния, они являются неотрицательными величинами. Следовательно, мы можем возвести обе части неравенства в квадрат, не меняя его знака:

$d_1^2 < d_2^2$

Теперь умножим обе части неравенства на -1. При этом знак неравенства изменится на противоположный:

$-d_1^2 > -d_2^2$

Прибавим к обеим частям постоянную величину $R^2$ (квадрат радиуса сферы). Знак неравенства не изменится:

$R^2 - d_1^2 > R^2 - d_2^2$

Заменим левую и правую части на соответствующие им квадраты радиусов сечений:

$r_1^2 > r_2^2$

Так как радиусы $r_1$ и $r_2$ являются длинами, они могут быть только положительными числами. Поэтому мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей неравенства, сохранив его знак:

$r_1 > r_2$

Таким образом, доказано, что сечение, плоскость которого менее удалена от центра сферы, имеет больший радиус. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Из зависимости $r = \sqrt{R^2 - d^2}$ следует, что при уменьшении расстояния $d$ от центра сферы до плоскости сечения, радиус сечения $r$ увеличивается, достигая максимума ($r = R$) при $d=0$ (когда плоскость проходит через центр сферы).