Номер 13.24, страница 125 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 13. Взаимное расположение сферы и плоскости. Глава 2. Тела вращения - номер 13.24, страница 125.

Условие.

13.24. Радиус сферы равен 40 см. Точка $A$, принадлежащая плоскости, касающейся этой сферы, удалена от точки касания на 9 см. Найдите расстояние от точки $A$ до ближайшей к ней точки сферы.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть O — центр сферы, R — ее радиус, T — точка касания плоскости и сферы. Точка A лежит в касательной плоскости.

По условию задачи дано:

• Радиус сферы: $R = OT = 40$ см.
• Расстояние от точки A до точки касания: $AT = 9$ см.

Радиус, проведенный в точку касания (OT), перпендикулярен касательной плоскости. Следовательно, треугольник $\triangle OAT$ является прямоугольным, где $\angle OTA = 90^\circ$. Катеты этого треугольника — OT и AT, а гипотенуза — OA.

Найдем расстояние от точки A до центра сферы O, используя теорему Пифагора: $OA^2 = OT^2 + AT^2$ $OA^2 = 40^2 + 9^2 = 1600 + 81 = 1681$ $OA = \sqrt{1681} = 41$ см.

Ближайшая к точке A точка на сфере (обозначим ее P) лежит на прямой, соединяющей точку A с центром сферы O. Расстояние от точки A до этой ближайшей точки P равно разности расстояния от A до центра сферы (OA) и радиуса сферы (R).

$AP = OA - R$ $AP = 41 - 40 = 1$ см.

Ответ: 1 см.