Номер 14.13, страница 134 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 14. Многогранники, вписанные в сферу. Глава 2. Тела вращения - номер 14.13, страница 134.

Условие.

14.13. Центр шара, описанного около правильной треугольной пирамиды, делит её высоту на отрезки длиной 6 см и 3 см. Найдите сторону основания пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана правильная треугольная пирамида, S – ее вершина, а ABC – основание (правильный треугольник). Пусть M – центр основания ABC, тогда SM – высота пирамиды H.

Центр O описанной около пирамиды сферы лежит на ее высоте SM. Согласно условию, точка O делит высоту на отрезки длиной 6 см и 3 см. Следовательно, полная высота пирамиды равна $H = SM = 6 + 3 = 9$ см.

По определению, центр описанной сферы O равноудален от всех вершин пирамиды. Расстояние от центра сферы до любой ее вершины равно радиусу сферы R. Таким образом, $OS = OA = OB = OC = R$.

Рассмотрим два возможных случая расположения точки O на высоте SM.

Случай 1: Точка O расположена ближе к основанию пирамиды. Тогда отрезок от вершины S до центра O равен 6 см, а отрезок от центра O до основания M равен 3 см. То есть, $SO = 6$ см и $OM = 3$ см.
В этом случае радиус описанной сферы $R = OS = 6$ см. Так как вершина A основания также лежит на сфере, то расстояние $OA$ также равно радиусу, $OA = R = 6$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMA$, где $\angle OMA = 90^\circ$. Катетами являются $OM$ и $AM$, а гипотенузой – $OA$. Отрезок $AM$ – это радиус окружности, описанной около основания ABC.
По теореме Пифагора: $OA^2 = OM^2 + AM^2$.
Подставим известные значения:
$6^2 = 3^2 + AM^2$
$36 = 9 + AM^2$
$AM^2 = 36 - 9 = 27$
$AM = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ см.

Для правильного треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности ($r_{опис}$) связан со стороной формулой $r_{опис} = \frac{a}{\sqrt{3}}$. В нашем случае $AM = r_{опис}$.
Следовательно, $AM = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
$3\sqrt{3} = \frac{a}{\sqrt{3}}$
Отсюда находим сторону основания $a$:
$a = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot 3 = 9$ см.

Случай 2: Точка O расположена ближе к вершине пирамиды. Тогда $SO = 3$ см и $OM = 6$ см.
В этом случае радиус описанной сферы $R = OS = 3$ см. Тогда $OA$ также должен быть равен 3 см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMA$. В нем гипотенуза $OA = 3$ см, а один из катетов $OM = 6$ см. Это невозможно, так как в прямоугольном треугольнике катет не может быть длиннее гипотенузы ($3 < 6$). Следовательно, этот случай невозможен.

Таким образом, единственно возможным является первый случай.

Ответ: 9 см.