Номер 14.34, страница 136 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 14. Многогранники, вписанные в сферу. Глава 2. Тела вращения - номер 14.34, страница 136.

Условие.

14.34. В сферу вписана правильная треугольная призма со стороной основания $a$ и боковым ребром $b$. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через центр сферы и сторону основания призмы.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана правильная треугольная призма $ABC A_1B_1C_1$, вписанная в сферу. Сторона основания $AB = BC = CA = a$, боковое ребро $AA_1 = b$. Центр сферы $O$ совпадает с центром призмы и лежит на середине высоты, соединяющей центры оснований призмы.

Плоскость сечения проходит через сторону основания, например $AB$, и центр сферы $O$. Поскольку плоскость сечения не параллельна основаниям призмы, она пересекает верхнее основание по прямой, параллельной $AB$. Таким образом, сечение представляет собой трапецию. В силу симметрии правильной призмы относительно плоскости, проходящей через ребро $CC_1$ и середину ребра $AB$, сечение является равнобедренной трапецией.

Для нахождения площади трапеции нам необходимо определить длины ее оснований и высоту.

1. Определение параметров сечения

Введем систему координат. Пусть центр нижнего основания $O_1$ будет в начале координат $(0, 0, 0)$. Ось $z$ направим вдоль оси призмы. Тогда плоскость нижнего основания $z=0$, а верхнего $z=b$. Центр сферы $O$ будет иметь координаты $(0, 0, b/2)$.

Расположим вершины нижнего основания $ABC$ в плоскости $z=0$. Пусть вершина $C$ лежит на отрицательной части оси $y$. Центр $O_1$ является центром описанной окружности для треугольника $ABC$. Радиус этой окружности $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$. Расстояние от центра до середины стороны (апофема) $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

Координаты вершин нижнего основания будут:

• $C = (0, -R, 0) = (0, -\frac{a}{\sqrt{3}}, 0)$
• Середина стороны $AB$, точка $M$, будет иметь координаты $M = (0, r, 0) = (0, \frac{a}{2\sqrt{3}}, 0)$
• $A = (-\frac{a}{2}, \frac{a}{2\sqrt{3}}, 0)$
• $B = (\frac{a}{2}, \frac{a}{2\sqrt{3}}, 0)$

Секущая плоскость проходит через точки $A$, $B$ и $O(0, 0, b/2)$. Составим уравнение этой плоскости. Векторы $\vec{AB} = (a, 0, 0)$ и $\vec{AO} = (\frac{a}{2}, -\frac{a}{2\sqrt{3}}, \frac{b}{2})$ лежат в этой плоскости. Нормальный вектор к плоскости $\vec{n}$ можно найти как их векторное произведение:

$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AO} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & 0 \\ a/2 & -a/(2\sqrt{3}) & b/2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(\frac{ab}{2}) + \mathbf{k}(-\frac{a^2}{2\sqrt{3}}) = (0, -\frac{ab}{2}, -\frac{a^2}{2\sqrt{3}})$

Уравнение плоскости имеет вид $0 \cdot x - \frac{ab}{2} \cdot y - \frac{a^2}{2\sqrt{3}} \cdot z + D = 0$. Упростив, получим $b y + \frac{a}{\sqrt{3}} z + D' = 0$. Подставим координаты точки $O(0,0,b/2)$, чтобы найти $D'$:

$b \cdot 0 + \frac{a}{\sqrt{3}} \cdot \frac{b}{2} + D' = 0 \Rightarrow D' = -\frac{ab}{2\sqrt{3}}$

Итак, уравнение секущей плоскости: $b y + \frac{a}{\sqrt{3}} z - \frac{ab}{2\sqrt{3}} = 0$.

Теперь найдем линию пересечения этой плоскости с плоскостью верхнего основания $z=b$. Подставим $z=b$ в уравнение плоскости:

$b y + \frac{a}{\sqrt{3}} b - \frac{ab}{2\sqrt{3}} = 0$

$b y = \frac{ab}{2\sqrt{3}} - \frac{ab}{\sqrt{3}} = -\frac{ab}{2\sqrt{3}}$

$y = -\frac{a}{2\sqrt{3}}$

Эта линия $y = -\frac{a}{2\sqrt{3}}$ в плоскости $z=b$ является вторым основанием трапеции. Найдем его длину. Эта линия пересекает стороны верхнего основания $A_1C_1$ и $B_1C_1$. Координаты вершин верхнего основания:

$A_1 = (-\frac{a}{2}, \frac{a}{2\sqrt{3}}, b)$, $B_1 = (\frac{a}{2}, \frac{a}{2\sqrt{3}}, b)$, $C_1 = (0, -\frac{a}{\sqrt{3}}, b)$

Уравнение прямой $A_1C_1$ в плоскости $z=b$:Наклон $k = \frac{y_{C1}-y_{A1}}{x_{C1}-x_{A1}} = \frac{-a/\sqrt{3} - a/(2\sqrt{3})}{0 - (-a/2)} = \frac{-3a/(2\sqrt{3})}{a/2} = -\sqrt{3}$. Уравнение: $y - y_{C1} = k(x-x_{C1}) \Rightarrow y - (-\frac{a}{\sqrt{3}}) = -\sqrt{3}(x-0) \Rightarrow y = -\sqrt{3}x - \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Найдем точку пересечения $A_2$ этой прямой с прямой $y = -\frac{a}{2\sqrt{3}}$:

$-\frac{a}{2\sqrt{3}} = -\sqrt{3}x - \frac{a}{\sqrt{3}}$

$\sqrt{3}x = -\frac{a}{\sqrt{3}} + \frac{a}{2\sqrt{3}} = -\frac{a}{2\sqrt{3}}$

$x = -\frac{a}{2\sqrt{3}\sqrt{3}} = -\frac{a}{6}$

Таким образом, одна из вершин верхнего основания трапеции $A_2 = (-\frac{a}{6}, -\frac{a}{2\sqrt{3}}, b)$. В силу симметрии, вторая вершина $B_2 = (\frac{a}{6}, -\frac{a}{2\sqrt{3}}, b)$.

Длина нижнего основания трапеции $d_1 = AB = a$. Длина верхнего основания трапеции $d_2 = A_2B_2 = \frac{a}{6} - (-\frac{a}{6}) = \frac{2a}{6} = \frac{a}{3}$.

Высота трапеции $h$ - это расстояние между прямыми $AB$ и $A_2B_2$. Найдем его как расстояние между серединами оснований: $M(0, \frac{a}{2\sqrt{3}}, 0)$ и $M_2(0, -\frac{a}{2\sqrt{3}}, b)$.

$h = |MM_2| = \sqrt{(0-0)^2 + (-\frac{a}{2\sqrt{3}} - \frac{a}{2\sqrt{3}})^2 + (b-0)^2} = \sqrt{(-\frac{a}{\sqrt{3}})^2 + b^2} = \sqrt{\frac{a^2}{3} + b^2}$.

2. Вычисление площади сечения

Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{d_1 + d_2}{2} h$

$S = \frac{a + a/3}{2} \sqrt{\frac{a^2}{3} + b^2} = \frac{4a/3}{2} \sqrt{\frac{a^2 + 3b^2}{3}} = \frac{2a}{3} \frac{\sqrt{a^2 + 3b^2}}{\sqrt{3}}$

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$ для рационализации:

$S = \frac{2a\sqrt{3}}{9}\sqrt{a^2 + 3b^2}$

Ответ: $S = \frac{2a\sqrt{3}}{9}\sqrt{a^2 + 3b^2}$