Номер 15.1, страница 142 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.1. В правильную треугольную призму вписан шар, радиус которого равен $R$. Найдите площадь полной поверхности призмы.

15.1.

Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$) равна сумме площадей двух оснований ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$): $S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$.

Призма является правильной, поэтому в её основании лежит равносторонний треугольник, а боковые грани — равные прямоугольники. Пусть $a$ — сторона основания, $H$ — высота призмы.

Поскольку шар радиусом $R$ вписан в призму, он касается её верхнего и нижнего оснований. Это означает, что расстояние между основаниями, то есть высота призмы $H$, равно диаметру шара: $H = 2R$.

Также шар касается всех трёх боковых граней. Это означает, что сечение призмы плоскостью, параллельной основанию и проходящей через центр шара, представляет собой равносторонний треугольник, в который вписана окружность радиусом $R$. Эта окружность является большим кругом вписанного шара.

Радиус $r$ окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, определяется по формуле: $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Так как в нашем случае $r=R$, получаем: $R = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Выразим сторону основания $a$ через радиус $R$: $a = \frac{6R}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}R}{3} = 2\sqrt{3}R$.

Теперь можем найти площади поверхностей.

Площадь одного основания (равностороннего треугольника): $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(2\sqrt{3}R)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(4 \cdot 3 \cdot R^2)\sqrt{3}}{4} = \frac{12R^2\sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3}R^2$.

Площадь боковой поверхности — это сумма площадей трёх одинаковых прямоугольников со сторонами $a$ и $H$. Она также может быть вычислена как произведение периметра основания на высоту: $S_{бок} = (3a) \cdot H = 3 \cdot (2\sqrt{3}R) \cdot (2R) = 12\sqrt{3}R^2$.

Наконец, находим площадь полной поверхности призмы: $S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2(3\sqrt{3}R^2) + 12\sqrt{3}R^2 = 6\sqrt{3}R^2 + 12\sqrt{3}R^2 = 18\sqrt{3}R^2$.

Ответ: $18\sqrt{3}R^2$.