Номер 15.2, страница 142 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.2. В правильную шестиугольную призму вписан шар, радиус которого равен $R$. Найдите площадь полной поверхности призмы.

Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$) складывается из площади боковой поверхности ($S_{бок}$) и удвоенной площади основания ($S_{осн}$): $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$.

Так как шар радиуса $R$ вписан в правильную шестиугольную призму, он касается верхнего и нижнего оснований, а также всех шести боковых граней. Из этого следует, что высота призмы $h$ равна диаметру шара, а радиус окружности, вписанной в основание призмы, равен радиусу шара.

1. Найдём высоту призмы. Высота призмы равна диаметру вписанного шара:$h = 2R$.

2. Найдём сторону основания призмы. Основанием является правильный шестиугольник, в который вписана окружность радиуса $R$. Связь между стороной правильного шестиугольника $a$ и радиусом вписанной окружности $r$ выражается формулой $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. В нашем случае $r=R$, поэтому:

$R = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Выразим сторону основания $a$ через радиус $R$:

$a = \frac{2R}{\sqrt{3}}$

3. Найдём площадь основания ($S_{осн}$). Площадь правильного шестиугольника вычисляется по формуле $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$. Подставим найденное выражение для $a$:

$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left( \frac{2R}{\sqrt{3}} \right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4R^2}{3} = 2\sqrt{3}R^2$

4. Найдём площадь боковой поверхности ($S_{бок}$). Она равна произведению периметра основания $P_{осн}$ на высоту $h$.

Периметр основания: $P_{осн} = 6a = 6 \cdot \frac{2R}{\sqrt{3}} = \frac{12R}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}R$.

Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 4\sqrt{3}R \cdot 2R = 8\sqrt{3}R^2$.

5. Найдём площадь полной поверхности призмы, сложив площадь боковой поверхности и площади двух оснований:

$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 8\sqrt{3}R^2 + 2 \cdot (2\sqrt{3}R^2) = 8\sqrt{3}R^2 + 4\sqrt{3}R^2 = 12\sqrt{3}R^2$.

Ответ: $12\sqrt{3}R^2$