Страница 142 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какой многогранник называют описанным около сферы?

2. В какой многогранник можно вписать сферу?

3. Каким свойством должны обладать биссекторы двугранных углов при рёбрах выпуклого многогранника, чтобы в этом многогранник можно было вписать сферу?

4. Где расположен центр сферы, вписанной в правильную пирамиду?

5. Какими свойствами должны обладать основание и высота прямой призмы, чтобы в неё можно было вписать сферу?

6. Каким свойством должна обладать высота правильной призмы, что-бы в неё можно было вписать сферу?

7. Какая точка является центром шара, вписанного в правильную призму?

1. Какой многогранник называют описанным около сферы?
Многогранник называют описанным около сферы (или шара), если все его грани касаются этой сферы. Сама сфера при этом называется вписанной в многогранник. Точка касания сферы с каждой гранью является проекцией центра сферы на эту грань.
Ответ: Многогранник, все грани которого касаются сферы.

2. В какой многогранник можно вписать сферу?
Сферу можно вписать в выпуклый многогранник тогда и только тогда, когда биссекторные плоскости всех его двугранных углов пересекаются в одной точке. Эта точка становится центром вписанной сферы, а расстояние от этой точки до любой из граней — её радиусом.
Ответ: В выпуклый многогранник, у которого биссекторные плоскости всех двугранных углов пересекаются в одной точке.

3. Каким свойством должны обладать биссекторы двугранных углов при рёбрах выпуклого многогранника, чтобы в этот многогранник можно было вписать сферу?
Биссекторная плоскость двугранного угла — это геометрическое место точек, равноудалённых от его граней. Чтобы в многогранник можно было вписать сферу, необходима точка, равноудалённая от всех граней многогранника. Такая точка существует только в том случае, если все биссекторные плоскости всех двугранных углов многогранника пересекаются в одной точке.
Ответ: Биссекторные плоскости всех двугранных углов многогранника должны пересекаться в одной точке.

4. Где расположен центр сферы, вписанной в правильную пирамиду?
В правильной пирамиде основанием является правильный многоугольник, а высота проецируется в центр этого многоугольника. Центр вписанной сферы всегда лежит на высоте правильной пирамиды, так как высота является осью симметрии. Точное положение центра — это точка пересечения высоты пирамиды с биссектрисой линейного угла двугранного угла при любом ребре основания.
Ответ: На высоте пирамиды.

5. Какими свойствами должны обладать основание и высота прямой призмы, чтобы в неё можно было вписать сферу?
Чтобы в прямую призму можно было вписать сферу, должны выполняться два условия:
1. В основание призмы (которое является многоугольником) можно вписать окружность.
2. Высота призмы $H$ должна быть равна диаметру этой вписанной окружности. Если радиус вписанной в основание окружности равен $r$, то высота призмы должна быть $H = 2r$.
Ответ: В основание призмы должна вписываться окружность, а высота призмы должна быть равна диаметру этой окружности.

6. Каким свойством должна обладать высота правильной призмы, чтобы в неё можно было вписать сферу?
Правильная призма — это прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник. В любой правильный многоугольник всегда можно вписать окружность. Следовательно, для правильной призмы первое условие из предыдущего вопроса выполняется автоматически. Остаётся только условие для высоты: высота правильной призмы должна быть равна диаметру окружности, вписанной в её основание.
Ответ: Высота правильной призмы должна быть равна диаметру окружности, вписанной в её основание.

7. Какая точка является центром шара, вписанного в правильную призму?
Центр вписанного шара должен быть равноудалён от верхнего и нижнего оснований, а также от всех боковых граней. Равноудалённость от оснований означает, что центр лежит на середине высоты. Равноудалённость от боковых граней означает, что центр лежит на оси симметрии призмы (отрезке, соединяющем центры оснований). Таким образом, центр шара — это середина отрезка, соединяющего центры оснований правильной призмы.
Ответ: Середина отрезка, соединяющего центры оснований призмы.

15.1. В правильную треугольную призму вписан шар, радиус которого равен $R$. Найдите площадь полной поверхности призмы.

15.1.

Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$) равна сумме площадей двух оснований ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$): $S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$.

Призма является правильной, поэтому в её основании лежит равносторонний треугольник, а боковые грани — равные прямоугольники. Пусть $a$ — сторона основания, $H$ — высота призмы.

Поскольку шар радиусом $R$ вписан в призму, он касается её верхнего и нижнего оснований. Это означает, что расстояние между основаниями, то есть высота призмы $H$, равно диаметру шара: $H = 2R$.

Также шар касается всех трёх боковых граней. Это означает, что сечение призмы плоскостью, параллельной основанию и проходящей через центр шара, представляет собой равносторонний треугольник, в который вписана окружность радиусом $R$. Эта окружность является большим кругом вписанного шара.

Радиус $r$ окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, определяется по формуле: $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Так как в нашем случае $r=R$, получаем: $R = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Выразим сторону основания $a$ через радиус $R$: $a = \frac{6R}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}R}{3} = 2\sqrt{3}R$.

Теперь можем найти площади поверхностей.

Площадь одного основания (равностороннего треугольника): $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(2\sqrt{3}R)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(4 \cdot 3 \cdot R^2)\sqrt{3}}{4} = \frac{12R^2\sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3}R^2$.

Площадь боковой поверхности — это сумма площадей трёх одинаковых прямоугольников со сторонами $a$ и $H$. Она также может быть вычислена как произведение периметра основания на высоту: $S_{бок} = (3a) \cdot H = 3 \cdot (2\sqrt{3}R) \cdot (2R) = 12\sqrt{3}R^2$.

Наконец, находим площадь полной поверхности призмы: $S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2(3\sqrt{3}R^2) + 12\sqrt{3}R^2 = 6\sqrt{3}R^2 + 12\sqrt{3}R^2 = 18\sqrt{3}R^2$.

Ответ: $18\sqrt{3}R^2$.

15.2. В правильную шестиугольную призму вписан шар, радиус которого равен $R$. Найдите площадь полной поверхности призмы.

Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$) складывается из площади боковой поверхности ($S_{бок}$) и удвоенной площади основания ($S_{осн}$): $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$.

Так как шар радиуса $R$ вписан в правильную шестиугольную призму, он касается верхнего и нижнего оснований, а также всех шести боковых граней. Из этого следует, что высота призмы $h$ равна диаметру шара, а радиус окружности, вписанной в основание призмы, равен радиусу шара.

1. Найдём высоту призмы. Высота призмы равна диаметру вписанного шара:$h = 2R$.

2. Найдём сторону основания призмы. Основанием является правильный шестиугольник, в который вписана окружность радиуса $R$. Связь между стороной правильного шестиугольника $a$ и радиусом вписанной окружности $r$ выражается формулой $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. В нашем случае $r=R$, поэтому:

$R = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Выразим сторону основания $a$ через радиус $R$:

$a = \frac{2R}{\sqrt{3}}$

3. Найдём площадь основания ($S_{осн}$). Площадь правильного шестиугольника вычисляется по формуле $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$. Подставим найденное выражение для $a$:

$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left( \frac{2R}{\sqrt{3}} \right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4R^2}{3} = 2\sqrt{3}R^2$

4. Найдём площадь боковой поверхности ($S_{бок}$). Она равна произведению периметра основания $P_{осн}$ на высоту $h$.

Периметр основания: $P_{осн} = 6a = 6 \cdot \frac{2R}{\sqrt{3}} = \frac{12R}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}R$.

Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 4\sqrt{3}R \cdot 2R = 8\sqrt{3}R^2$.

5. Найдём площадь полной поверхности призмы, сложив площадь боковой поверхности и площади двух оснований:

$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 8\sqrt{3}R^2 + 2 \cdot (2\sqrt{3}R^2) = 8\sqrt{3}R^2 + 4\sqrt{3}R^2 = 12\sqrt{3}R^2$.

Ответ: $12\sqrt{3}R^2$

15.3. Найдите радиус шара, вписанного в правильную шестиугольную пирамиду, сторона основания которой равна $a$, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $\alpha$.

Пусть дана правильная шестиугольная пирамида с вершиной $S$ и центром основания $O$. Тогда $SO$ — высота пирамиды. Сторона основания равна $a$. Двугранный угол при ребре основания равен $\alpha$.

Центр вписанного в пирамиду шара, обозначим его $I$, в силу симметрии лежит на высоте пирамиды $SO$. Радиус вписанного шара $r$ — это расстояние от центра $I$ до любой грани пирамиды. Таким образом, расстояние от точки $I$ до плоскости основания равно $r$, то есть $IO = r$.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через высоту $SO$ и апофему основания $OM$, где $M$ — середина ребра основания. Апофема боковой грани $SM$ также лежит в этой плоскости. Данное сечение образует прямоугольный треугольник $SOM$ (угол $\angle SOM = 90^\circ$). Угол $\angle SMO$ является линейным углом двугранного угла при ребре основания, следовательно, $\angle SMO = \alpha$.

Центр вписанного шара $I$ лежит на отрезке $SO$. Расстояние от $I$ до плоскости основания равно $IO = r$. Расстояние от $I$ до плоскости боковой грани равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $I$ на апофему $SM$ (так как плоскость $SOM$ перпендикулярна боковой грани). Этот перпендикуляр также равен $r$.

Поскольку точка $I$ в плоскости треугольника $SOM$ равноудалена от сторон угла $\angle SMO$ (лучей $MO$ и $MS$), она лежит на биссектрисе этого угла. Следовательно, луч $IM$ является биссектрисой угла $\angle SMO$, и $\angle IMO = \frac{\alpha}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $IOM$ (с прямым углом $\angle IO M$). В этом треугольнике катет $IO = r$, а второй катет $OM$ — это апофема основания. Из определения тангенса угла имеем: $$ \tan(\angle IMO) = \frac{IO}{OM} $$ Подставляя известные значения, получаем: $$ \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{r}{OM} $$ Отсюда выражаем искомый радиус: $$ r = OM \cdot \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) $$

Теперь найдем длину апофемы $OM$ правильного шестиугольника со стороной $a$. Правильный шестиугольник в основании состоит из шести равносторонних треугольников. Апофема $OM$ является высотой в одном из таких треугольников (например, $\triangle OAB$ со стороной $a$). Длина высоты в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле: $$ OM = \frac{a\sqrt{3}}{2} $$

Наконец, подставим найденное значение $OM$ в формулу для радиуса $r$: $$ r = \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) $$

Ответ: $ \frac{a\sqrt{3}}{2} \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) $

15.4. Найдите радиус шара, вписанного в правильную четырёхугольную пирамиду, сторона основания которой равна $a$, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $\alpha$.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD, где ABCD – квадрат в основании. Пусть SO – высота пирамиды, где O – центр квадрата. Сторона основания равна a, то есть AB = BC = CD = DA = a. Двугранный угол при ребре основания равен α.

Для нахождения радиуса вписанного шара рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через её высоту SO и перпендикулярное ребру основания, например, CD. Пусть M – середина ребра CD. Тогда SM – апофема грани SCD, а OM – отрезок, соединяющий центр основания с серединой стороны CD. В правильной пирамиде $OM \perp CD$.

По определению, двугранный угол при ребре основания CD – это угол между плоскостью основания (ABC) и плоскостью боковой грани (SCD). Этот угол измеряется линейным углом $ \angle SMO $, так как $OM \perp CD$ и $SM \perp CD$. Таким образом, по условию $ \angle SMO = \alpha $.

Центр вписанного в пирамиду шара, обозначим его I, лежит на высоте пирамиды SO в силу симметрии. Шар касается всех граней пирамиды (основания и четырёх боковых граней). Расстояние от центра шара I до любой грани равно радиусу шара r.

Расстояние от центра I до плоскости основания (ABC) равно длине перпендикуляра, опущенного из I на эту плоскость. Так как I лежит на высоте SO, которая перпендикулярна основанию, то этим перпендикуляром является отрезок IO. Следовательно, $IO = r$.

Центр вписанного шара равноудален от всех граней. В частности, он равноудален от плоскости основания (ABC) и от плоскости боковой грани (SCD). Геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от двух пересекающихся плоскостей, есть плоскость, делящая двугранный угол между ними пополам (биссекторная плоскость).

В нашем сечении, которое представляет собой прямоугольный треугольник SOM (с прямым углом при вершине O), центр шара I лежит на катете SO. Точка I также должна лежать на биссектрисе угла $ \angle SMO $. Следовательно, отрезок MI является биссектрисой угла $ \angle SMO $.

Отсюда следует, что $ \angle OMI = \frac{\angle SMO}{2} = \frac{\alpha}{2} $.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник IOM. В нем:

• Катет $IO = r$ (искомый радиус вписанного шара).
• Катет $OM$ равен половине стороны основания, так как O – центр квадрата, а M – середина стороны. То есть, $ OM = \frac{a}{2} $.
• Угол, противолежащий катету IO, равен $ \angle OMI = \frac{\alpha}{2} $.

Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике имеем: $ \tan(\angle OMI) = \frac{IO}{OM} $

Подставляем известные значения: $ \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{r}{\frac{a}{2}} $

Выразим из этого уравнения радиус r: $ r = \frac{a}{2} \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) $

Ответ: $ \frac{a}{2} \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) $.

15.5. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с катетом $a$ и противолежащим ему углом $\alpha$. Найдите радиус шара, вписанного в данную призму.

Для того чтобы в прямую призму можно было вписать шар, необходимо и достаточно, чтобы в ее основание можно было вписать окружность, а высота призмы была равна диаметру этой окружности. Радиус вписанного шара $R$ будет равен радиусу $r$ окружности, вписанной в основание призмы.

Найдем радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, который является основанием призмы.

Пусть в прямоугольном треугольнике катет, равный $a$, противолежит углу $\alpha$. Найдем второй катет $b$ и гипотенузу $c$.

Второй катет $b$ прилежит к углу $\alpha$. Из определения тангенса:

$\tan \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{a}{b}$

Отсюда находим второй катет $b$:

$b = \frac{a}{\tan \alpha} = a \cot \alpha$

Гипотенузу $c$ найдем из определения синуса:

$\sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c}$

Отсюда находим гипотенузу $c$:

$c = \frac{a}{\sin \alpha}$

Радиус $r$ окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно найти по формуле:

$r = \frac{a+b-c}{2}$

Подставим найденные выражения для катета $b$ и гипотенузы $c$:

$r = \frac{a + a \cot \alpha - \frac{a}{\sin \alpha}}{2}$

Вынесем общий множитель $\frac{a}{2}$ за скобки и преобразуем выражение:

$r = \frac{a}{2} \left(1 + \cot \alpha - \frac{1}{\sin \alpha}\right) = \frac{a}{2} \left(1 + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - \frac{1}{\sin \alpha}\right) = \frac{a}{2} \cdot \frac{\sin \alpha + \cos \alpha - 1}{\sin \alpha}$

Так как радиус вписанного шара $R$ равен радиусу вписанной в основание окружности $r$, то искомый радиус шара равен:

$R = \frac{a(\sin \alpha + \cos \alpha - 1)}{2 \sin \alpha}$

Ответ: $R = \frac{a(\sin \alpha + \cos \alpha - 1)}{2 \sin \alpha}$

15.6. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник. Высота этого треугольника, проведённая к его основанию, равна $h$ и образует с боковой стороной треугольника угол $\alpha$. Найдите высоту призмы, если известно, что в эту призму можно вписать шар.

Пусть основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и равными сторонами $AB$ и $BC$. Пусть $BH$ – высота, проведенная к основанию $AC$. По условию, $BH = h$. Угол между этой высотой и боковой стороной, например $AB$, равен $\alpha$, то есть $\angle ABH = \alpha$.

Так как призма прямая, ее боковые ребра перпендикулярны основанию. Условием того, что в прямую призму можно вписать шар, является равенство ее высоты $H$ диаметру окружности, вписанной в ее основание. Если $r$ – радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$, то высота призмы $H = 2r$.

Для нахождения радиуса $r$ найдем стороны треугольника $ABC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (угол $\angle BHA = 90^\circ$).

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:

Катет $AH = BH \cdot \tan(\angle ABH) = h \tan(\alpha)$.

Гипотенуза $AB = \frac{BH}{\cos(\angle ABH)} = \frac{h}{\cos(\alpha)}$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой, поэтому основание $AC = 2 \cdot AH = 2h \tan(\alpha)$. Боковые стороны равны: $AB = BC = \frac{h}{\cos(\alpha)}$.

Теперь мы можем найти радиус $r$ вписанной в треугольник $ABC$ окружности по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ – площадь треугольника, а $p$ – его полупериметр.

Площадь треугольника $ABC$ равна:

$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot (2h \tan(\alpha)) \cdot h = h^2 \tan(\alpha)$.

Полупериметр треугольника $ABC$ равен:

$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{\frac{h}{\cos(\alpha)} + \frac{h}{\cos(\alpha)} + 2h \tan(\alpha)}{2} = \frac{2\frac{h}{\cos(\alpha)} + 2h \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}}{2} = \frac{h}{\cos(\alpha)} + h \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{h(1 + \sin(\alpha))}{\cos(\alpha)}$.

Теперь вычислим радиус вписанной окружности:

$r = \frac{S}{p} = \frac{h^2 \tan(\alpha)}{\frac{h(1 + \sin(\alpha))}{\cos(\alpha)}} = \frac{h^2 \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}}{\frac{h(1 + \sin(\alpha))}{\cos(\alpha)}} = \frac{h \sin(\alpha)}{1 + \sin(\alpha)}$.

Высота призмы $H$ равна удвоенному радиусу вписанной в основание окружности:

$H = 2r = 2 \cdot \frac{h \sin(\alpha)}{1 + \sin(\alpha)} = \frac{2h \sin(\alpha)}{1 + \sin(\alpha)}$.

Ответ: $\frac{2h \sin(\alpha)}{1 + \sin(\alpha)}$