Страница 137 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.37. Меньшее основание прямоугольной трапеции равно 12 см, а меньшая боковая сторона – $4\sqrt{3}$ см. Найдите площадь трапеции, если один из её углов равен $120^\circ$.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, в которой основаниями являются $AD$ и $BC$, а меньшая боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям.

Из условия задачи имеем:

• Меньшее основание $BC = 12$ см.
• Меньшая боковая сторона (высота) $AB = h = 4\sqrt{3}$ см.
• Один из углов равен $120°$.

В прямоугольной трапеции углы при меньшей боковой стороне прямые, то есть $\angle A = \angle B = 90°$. Следовательно, угол в $120°$ — это один из углов при большей боковой стороне, $\angle C$ или $\angle D$. Так как сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180°$, то один из этих углов острый, а другой — тупой. Значит, тупой угол $\angle C = 120°$. Тогда острый угол $\angle D$ можно найти так:

$\angle D = 180° - \angle C = 180° - 120° = 60°$.

Для вычисления площади трапеции воспользуемся формулой:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота. Нам неизвестно большее основание $AD$.

Проведем высоту $CE$ из вершины $C$ к основанию $AD$. Получим прямоугольник $ABCE$ и прямоугольный треугольник $CED$.

В прямоугольнике $ABCE$:

$AE = BC = 12$ см.

$CE = AB = 4\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CED$ ($\angle E = 90°$). В нем нам известны катет $CE$ и угол $\angle D = 60°$. Найдем катет $ED$ через тангенс угла $D$:

$\tan(\angle D) = \frac{CE}{ED}$

$ED = \frac{CE}{\tan(\angle D)} = \frac{4\sqrt{3}}{\tan(60°)}$

Так как $\tan(60°) = \sqrt{3}$, то:

$ED = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4$ см.

Теперь найдем длину большего основания $AD$:

$AD = AE + ED = 12 + 4 = 16$ см.

Подставим все известные значения в формулу площади трапеции:

$S = \frac{AD+BC}{2} \cdot AB = \frac{16+12}{2} \cdot 4\sqrt{3} = \frac{28}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 14 \cdot 4\sqrt{3} = 56\sqrt{3}$ см².

Ответ: $56\sqrt{3}$ см².

14.38. Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, равна 20 см, а высота, проведённая к боковой стороне, — 24 см. Найдите площадь данного треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник, в котором длина боковой стороны равна $b$, а длина основания — $a$.

Высота, проведённая к основанию, по условию равна $h_a = 20$ см. Высота, проведённая к боковой стороне, равна $h_b = 24$ см.

Площадь треугольника $S$ можно выразить двумя способами: через основание и высоту к нему, и через боковую сторону и высоту к ней.

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 20 = 10a$

$S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b = \frac{1}{2} \cdot b \cdot 24 = 12b$

Так как оба выражения описывают одну и ту же площадь, мы можем их приравнять:

$10a = 12b$

Из этого соотношения выразим длину основания $a$ через длину боковой стороны $b$:

$a = \frac{12}{10}b = \frac{6}{5}b$

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой. Она делит основание на два равных отрезка длиной $\frac{a}{2}$. Эта высота, половина основания и боковая сторона образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора имеем:

$h_a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = b^2$

Подставим известные значения и полученное ранее выражение для $a$:

$20^2 + \left(\frac{\frac{6}{5}b}{2}\right)^2 = b^2$

$400 + \left(\frac{3}{5}b\right)^2 = b^2$

$400 + \frac{9}{25}b^2 = b^2$

Теперь решим это уравнение относительно $b^2$:

$400 = b^2 - \frac{9}{25}b^2$

$400 = \frac{25b^2 - 9b^2}{25}$

$400 = \frac{16b^2}{25}$

$b^2 = \frac{400 \cdot 25}{16} = 25 \cdot 25 = 625$

Отсюда находим длину боковой стороны:

$b = \sqrt{625} = 25$ см.

Зная длину боковой стороны, можем вычислить площадь треугольника по формуле $S = 12b$:

$S = 12 \cdot 25 = 300$ см².

Ответ: 300 см².