Страница 133 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какой многогранник называют вписанным в сферу?

2. В каком случае около многогранника можно описать сферу?

3. В каком случае призму можно вписать в сферу?

4. Где расположен центр сферы, описанной около правильной призмы?

5. В каком случае пирамиду можно вписать в сферу?

6. Где расположен центр сферы, описанной около правильной пирамиды?

1. Какой многогранник называют вписанным в сферу? Многогранник называют вписанным в сферу (а сферу — описанной около многогранника), если все вершины многогранника лежат на поверхности этой сферы. Ответ:

2. В каком случае около многогранника можно описать сферу? Около многогранника можно описать сферу тогда и только тогда, когда существует точка, равноудаленная от всех его вершин. Эта точка является центром описанной сферы. Геометрически это означает, что плоскости, перпендикулярные ребрам многогранника и проходящие через их середины, пересекаются в одной точке. Ответ:

3. В каком случае призму можно вписать в сферу? Призму можно вписать в сферу тогда и только тогда, когда она является прямой призмой и около ее основания можно описать окружность. Ответ:

4. Где расположен центр сферы, описанной около правильной призмы? Центр сферы, описанной около правильной призмы, расположен на середине ее высоты (оси), соединяющей центры оснований. Ответ:

5. В каком случае пирамиду можно вписать в сферу? Пирамиду можно вписать в сферу тогда и только тогда, когда около ее основания можно описать окружность. Ответ:

6. Где расположен центр сферы, описанной около правильной пирамиды? Центр сферы, описанной около правильной пирамиды, лежит на ее высоте (или на ее продолжении). Эта точка является точкой пересечения высоты пирамиды и плоскости, перпендикулярной любому боковому ребру и проходящей через его середину. Ответ:

14.1. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 4 см, 6 см и 12 см. Найдите радиус сферы, описанной около данного параллелепипеда.

14.1. Центр сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда, совпадает с центром симметрии параллелепипеда, то есть с точкой пересечения его диагоналей. Следовательно, диаметр описанной сферы равен длине пространственной диагонали параллелепипеда. Радиус сферы равен половине этой диагонали.

Пусть измерения параллелепипеда (длина, ширина и высота) равны $a$, $b$ и $c$. По условию задачи имеем:
$a = 4$ см, $b = 6$ см, $c = 12$ см.

Квадрат пространственной диагонали $d$ прямоугольного параллелепипеда находится по формуле, которая является следствием теоремы Пифагора в пространстве:
$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Подставим данные значения в формулу:
$d^2 = 4^2 + 6^2 + 12^2 = 16 + 36 + 144 = 196$

Теперь найдем длину диагонали $d$, извлекая квадратный корень:
$d = \sqrt{196} = 14$ см.

Диагональ параллелепипеда является диаметром описанной сферы. Радиус сферы $R$ равен половине ее диаметра:
$R = \frac{d}{2} = \frac{14}{2} = 7$ см.

Ответ: 7 см.

14.2. В сферу радиуса $R$ вписан куб. Найдите площадь поверхности этого куба.

Пусть $a$ — длина ребра куба, вписанного в сферу радиуса $R$.

Для того чтобы куб был вписан в сферу, все его вершины должны лежать на поверхности сферы. Это означает, что центр сферы совпадает с центром куба, а расстояние от центра до любой вершины куба равно радиусу сферы $R$.

Главная диагональ куба $d$ соединяет две противоположные вершины и проходит через центр куба. Длина этой диагонали равна диаметру описанной сферы, то есть $d = 2R$.

С другой стороны, длину главной диагонали куба можно выразить через длину его ребра $a$. По теореме Пифагора для пространственного прямоугольного параллелепипеда (которым является куб), квадрат диагонали равен сумме квадратов трех его измерений:$d^2 = a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2$

Отсюда следует, что $d = a\sqrt{3}$.

Приравнивая два выражения для диагонали $d$, получаем связь между ребром куба и радиусом сферы:$a\sqrt{3} = 2R$

Выразим отсюда длину ребра куба $a$:$a = \frac{2R}{\sqrt{3}}$

Площадь поверхности куба $S$ состоит из шести одинаковых граней, каждая из которых является квадратом со стороной $a$. Площадь одной грани равна $a^2$. Таким образом, площадь всей поверхности куба вычисляется по формуле:$S = 6a^2$

Подставим в эту формулу найденное выражение для $a$:$S = 6 \cdot \left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right)^2 = 6 \cdot \frac{4R^2}{3}$

Упростим полученное выражение:$S = \frac{24R^2}{3} = 8R^2$

Ответ: $8R^2$