Номер 14.38, страница 137 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.38. Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, равна 20 см, а высота, проведённая к боковой стороне, — 24 см. Найдите площадь данного треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник, в котором длина боковой стороны равна $b$, а длина основания — $a$.

Высота, проведённая к основанию, по условию равна $h_a = 20$ см. Высота, проведённая к боковой стороне, равна $h_b = 24$ см.

Площадь треугольника $S$ можно выразить двумя способами: через основание и высоту к нему, и через боковую сторону и высоту к ней.

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 20 = 10a$

$S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b = \frac{1}{2} \cdot b \cdot 24 = 12b$

Так как оба выражения описывают одну и ту же площадь, мы можем их приравнять:

$10a = 12b$

Из этого соотношения выразим длину основания $a$ через длину боковой стороны $b$:

$a = \frac{12}{10}b = \frac{6}{5}b$

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой. Она делит основание на два равных отрезка длиной $\frac{a}{2}$. Эта высота, половина основания и боковая сторона образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора имеем:

$h_a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = b^2$

Подставим известные значения и полученное ранее выражение для $a$:

$20^2 + \left(\frac{\frac{6}{5}b}{2}\right)^2 = b^2$

$400 + \left(\frac{3}{5}b\right)^2 = b^2$

$400 + \frac{9}{25}b^2 = b^2$

Теперь решим это уравнение относительно $b^2$:

$400 = b^2 - \frac{9}{25}b^2$

$400 = \frac{25b^2 - 9b^2}{25}$

$400 = \frac{16b^2}{25}$

$b^2 = \frac{400 \cdot 25}{16} = 25 \cdot 25 = 625$

Отсюда находим длину боковой стороны:

$b = \sqrt{625} = 25$ см.

Зная длину боковой стороны, можем вычислить площадь треугольника по формуле $S = 12b$:

$S = 12 \cdot 25 = 300$ см².

Ответ: 300 см².