Вопросы?, страница 142 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какой многогранник называют описанным около сферы?

2. В какой многогранник можно вписать сферу?

3. Каким свойством должны обладать биссекторы двугранных углов при рёбрах выпуклого многогранника, чтобы в этом многогранник можно было вписать сферу?

4. Где расположен центр сферы, вписанной в правильную пирамиду?

5. Какими свойствами должны обладать основание и высота прямой призмы, чтобы в неё можно было вписать сферу?

6. Каким свойством должна обладать высота правильной призмы, что-бы в неё можно было вписать сферу?

7. Какая точка является центром шара, вписанного в правильную призму?

1. Какой многогранник называют описанным около сферы?
Многогранник называют описанным около сферы (или шара), если все его грани касаются этой сферы. Сама сфера при этом называется вписанной в многогранник. Точка касания сферы с каждой гранью является проекцией центра сферы на эту грань.
Ответ: Многогранник, все грани которого касаются сферы.

2. В какой многогранник можно вписать сферу?
Сферу можно вписать в выпуклый многогранник тогда и только тогда, когда биссекторные плоскости всех его двугранных углов пересекаются в одной точке. Эта точка становится центром вписанной сферы, а расстояние от этой точки до любой из граней — её радиусом.
Ответ: В выпуклый многогранник, у которого биссекторные плоскости всех двугранных углов пересекаются в одной точке.

3. Каким свойством должны обладать биссекторы двугранных углов при рёбрах выпуклого многогранника, чтобы в этот многогранник можно было вписать сферу?
Биссекторная плоскость двугранного угла — это геометрическое место точек, равноудалённых от его граней. Чтобы в многогранник можно было вписать сферу, необходима точка, равноудалённая от всех граней многогранника. Такая точка существует только в том случае, если все биссекторные плоскости всех двугранных углов многогранника пересекаются в одной точке.
Ответ: Биссекторные плоскости всех двугранных углов многогранника должны пересекаться в одной точке.

4. Где расположен центр сферы, вписанной в правильную пирамиду?
В правильной пирамиде основанием является правильный многоугольник, а высота проецируется в центр этого многоугольника. Центр вписанной сферы всегда лежит на высоте правильной пирамиды, так как высота является осью симметрии. Точное положение центра — это точка пересечения высоты пирамиды с биссектрисой линейного угла двугранного угла при любом ребре основания.
Ответ: На высоте пирамиды.

5. Какими свойствами должны обладать основание и высота прямой призмы, чтобы в неё можно было вписать сферу?
Чтобы в прямую призму можно было вписать сферу, должны выполняться два условия:
1. В основание призмы (которое является многоугольником) можно вписать окружность.
2. Высота призмы $H$ должна быть равна диаметру этой вписанной окружности. Если радиус вписанной в основание окружности равен $r$, то высота призмы должна быть $H = 2r$.
Ответ: В основание призмы должна вписываться окружность, а высота призмы должна быть равна диаметру этой окружности.

6. Каким свойством должна обладать высота правильной призмы, чтобы в неё можно было вписать сферу?
Правильная призма — это прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник. В любой правильный многоугольник всегда можно вписать окружность. Следовательно, для правильной призмы первое условие из предыдущего вопроса выполняется автоматически. Остаётся только условие для высоты: высота правильной призмы должна быть равна диаметру окружности, вписанной в её основание.
Ответ: Высота правильной призмы должна быть равна диаметру окружности, вписанной в её основание.

7. Какая точка является центром шара, вписанного в правильную призму?
Центр вписанного шара должен быть равноудалён от верхнего и нижнего оснований, а также от всех боковых граней. Равноудалённость от оснований означает, что центр лежит на середине высоты. Равноудалённость от боковых граней означает, что центр лежит на оси симметрии призмы (отрезке, соединяющем центры оснований). Таким образом, центр шара — это середина отрезка, соединяющего центры оснований правильной призмы.
Ответ: Середина отрезка, соединяющего центры оснований призмы.