Номер 15.7, страница 143 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.7. Основанием прямой призмы является прямоугольная трапеция, большая боковая сторона которой равна 12 см, а острый угол — $30^\circ$.

Найдите площадь боковой поверхности призмы, если известно, что в эту призму можно вписать шар.

Пусть основанием прямой призмы является прямоугольная трапеция. Обозначим ее стороны: $a$ и $b$ – основания, $h$ – меньшая боковая сторона, которая перпендикулярна основаниям (и является высотой трапеции), $c$ – большая боковая сторона.

Согласно условию, большая боковая сторона $c = 12$ см, а острый угол трапеции равен $30^\circ$. Этот угол расположен между большей боковой стороной $c$ и большим основанием.

Для нахождения высоты трапеции $h$ рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной $c$ (в качестве гипотенузы), высотой $h$ (в качестве катета) и частью большего основания. Угол, противолежащий катету $h$, равен $30^\circ$.

Следовательно, высота трапеции равна:

$h = c \cdot \sin(30^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.

В условии сказано, что в данную призму можно вписать шар. Это возможно только в том случае, если в ее основание (трапецию) можно вписать окружность, а высота призмы $H$ равна диаметру этой вписанной окружности. Диаметр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, в свою очередь, равен ее высоте $h$.

Таким образом, высота призмы $H$ равна высоте трапеции $h$:

$H = h = 6$ см.

Площадь боковой поверхности прямой призмы находится по формуле $S_{бок} = P \cdot H$, где $P$ – периметр основания, а $H$ – высота призмы.

Для нахождения периметра воспользуемся свойством описанного четырехугольника (трапеции, в которую можно вписать окружность): суммы длин его противолежащих сторон равны. Это означает, что сумма оснований равна сумме боковых сторон:

$a + b = h + c$

Подставим известные значения $h=6$ см и $c=12$ см:

$a + b = 6 + 12 = 18$ см.

Теперь найдем периметр трапеции $P$:

$P = a + b + h + c = (a + b) + (h + c) = 18 + 18 = 36$ см.

Наконец, вычислим площадь боковой поверхности призмы:

$S_{бок} = P \cdot H = 36 \cdot 6 = 216$ см².

Ответ: $216$ см².