Номер 15.14, страница 143 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.14. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны, а площадь основания равна $S$. Центр шара, вписанного в пирамиду, делит её высоту в отношении $2 : 1$, считая от вершины пирамиды. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Пусть $S_{полн}$ — площадь полной поверхности пирамиды, $S_{осн}$ — площадь основания, $h$ — высота пирамиды, $V$ — объём пирамиды.

По условию, площадь основания равна $S$, то есть $S_{осн} = S$.

Так как все двугранные углы при рёбрах основания равны, в эту пирамиду можно вписать шар. Центр вписанного шара будет лежать на высоте пирамиды. Пусть $O$ — центр вписанного шара, а $r$ — его радиус. Расстояние от центра вписанного шара до основания равно радиусу $r$.

По условию, центр шара $O$ делит высоту $h$ в отношении $2:1$, считая от вершины. Пусть $P$ — вершина пирамиды, а $H_0$ — её проекция на основание. Тогда $PH_0 = h$. Точка $O$ лежит на отрезке $PH_0$. Отношение длин отрезков $PO : OH_0 = 2 : 1$.

Расстояние от точки $O$ до плоскости основания равно длине отрезка $OH_0$. Это расстояние равно радиусу вписанного шара $r$. Таким образом, $OH_0 = r$.

Из соотношения $PO : OH_0 = 2 : 1$ следует, что $PO = 2 \cdot OH_0 = 2r$.

Высота пирамиды $h$ равна сумме длин отрезков $PO$ и $OH_0$:

$h = PO + OH_0 = 2r + r = 3r$.

Объём пирамиды можно вычислить по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$

Подставим известные нам значения:

$V = \frac{1}{3} S \cdot (3r) = S \cdot r$.

С другой стороны, объём любого многогранника, в который можно вписать шар, вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{полн} \cdot r$

где $S_{полн}$ — полная площадь поверхности многогранника, а $r$ — радиус вписанного шара.

Приравняем два выражения для объёма пирамиды:

$S \cdot r = \frac{1}{3} S_{полн} \cdot r$

Так как пирамида существует, её объём и радиус вписанного шара не равны нулю ($r > 0$), мы можем разделить обе части уравнения на $r$:

$S = \frac{1}{3} S_{полн}$

Отсюда выразим площадь полной поверхности:

$S_{полн} = 3S$

Ответ: $3S$.