Номер 15.21, страница 144 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.21. Треугольник $ABC$ является основанием пирамиды $DABC$, $AB = BC = DB = a$, $\angle ABC = 90^\circ$, $DB \perp ABC$. Найдите радиус сферы, вписанной в данную пирамиду.

Для нахождения радиуса $r$ сферы, вписанной в пирамиду, воспользуемся формулой, связывающей радиус вписанной сферы, объем $V$ и площадь полной поверхности $S_{полн}$ многогранника:

$$ r = \frac{3V}{S_{полн}} $$

Для применения этой формулы нам необходимо вычислить объем пирамиды и площадь ее полной поверхности.

1. Вычисление объема пирамиды $V$

Основанием пирамиды является треугольник $ABC$. По условию, $AB = BC = a$ и $\angle ABC = 90^\circ$. Следовательно, основание — это прямоугольный равнобедренный треугольник. Его площадь $S_{осн}$ равна:

$$ S_{осн} = S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{a^2}{2} $$

Из условия $DB \perp ABC$ следует, что ребро $DB$ является высотой пирамиды $H$. Длина высоты $H = DB = a$.

Теперь можем найти объем пирамиды:

$$ V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2}{2} \cdot a = \frac{a^3}{6} $$

2. Вычисление площади полной поверхности $S_{полн}$

Площадь полной поверхности пирамиды складывается из площади основания и площадей трех боковых граней:

$$ S_{полн} = S_{ABC} + S_{DAB} + S_{DBC} + S_{DAC} $$

Площадь основания уже найдена: $S_{ABC} = \frac{a^2}{2}$.

Рассмотрим площади боковых граней:

– Грань $DAB$: Поскольку $DB \perp (ABC)$, то ребро $DB$ перпендикулярно любому ребру в этой плоскости, исходящему из точки $B$. Значит, $DB \perp AB$. Треугольник $DAB$ — прямоугольный с катетами $AB = a$ и $DB = a$. Его площадь:

$$ S_{DAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot DB = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{a^2}{2} $$

– Грань $DBC$: Аналогично, $DB \perp BC$. Треугольник $DBC$ — прямоугольный с катетами $BC = a$ и $DB = a$. Его площадь:

$$ S_{DBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DB = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{a^2}{2} $$

– Грань $DAC$: Для нахождения ее площади найдем длины ее сторон $DA$, $DC$ и $AC$. Из прямоугольного $\triangle DAB$ по теореме Пифагора:

$$ DA = \sqrt{DB^2 + AB^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2} $$

Из прямоугольного $\triangle DBC$ по теореме Пифагора:

$$ DC = \sqrt{DB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2} $$

Из прямоугольного $\triangle ABC$ по теореме Пифагора:

$$ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2} $$

Все стороны треугольника $DAC$ равны $a\sqrt{2}$, значит, он равносторонний. Площадь равностороннего треугольника со стороной $s$ равна $S = \frac{s^2\sqrt{3}}{4}$.

$$ S_{DAC} = \frac{(a\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} $$

Теперь суммируем площади всех граней, чтобы найти $S_{полн}$:

$$ S_{полн} = S_{ABC} + S_{DAB} + S_{DBC} + S_{DAC} = \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} + \frac{a^2\sqrt{3}}{2} = \frac{3a^2 + a^2\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2(3 + \sqrt{3})}{2} $$

3. Нахождение радиуса вписанной сферы $r$

Подставим вычисленные значения $V$ и $S_{полн}$ в исходную формулу:

$$ r = \frac{3V}{S_{полн}} = \frac{3 \cdot \frac{a^3}{6}}{\frac{a^2(3 + \sqrt{3})}{2}} = \frac{\frac{a^3}{2}}{\frac{a^2(3 + \sqrt{3})}{2}} = \frac{a}{3 + \sqrt{3}} $$

Для упрощения выражения избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(3 - \sqrt{3})$:

$$ r = \frac{a(3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})} = \frac{a(3 - \sqrt{3})}{3^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{a(3 - \sqrt{3})}{9 - 3} = \frac{a(3 - \sqrt{3})}{6} $$

Ответ: $r = \frac{a(3 - \sqrt{3})}{6}$.