Номер 15.24, страница 144 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.24. Около шара радиуса 12 см описана правильная шестиугольная пирамида, высота которой равна 30 см. Найдите радиус шара, описанного около данной пирамиды.

Пусть дана правильная шестиугольная пирамида. Обозначим ее высоту как $H$, радиус вписанного шара как $r$, и радиус искомого описанного шара как $R$. По условию, $H = 30$ см и $r = 12$ см.

Центр вписанного шара, $O_{вн}$, лежит на высоте пирамиды $SO$ (где $S$ — вершина, а $O$ — центр основания). Поскольку вписанный шар касается плоскости основания, расстояние от его центра до основания равно радиусу, то есть $O_{вн}O = r = 12$ см.

Рассмотрим осевое сечение пирамиды, которое проходит через ее высоту $SO$ и апофему боковой грани $SM$ (где $M$ — середина стороны основания). Данное сечение представляет собой прямоугольный треугольник $SOM$. Вписанный шар касается боковой грани в некоторой точке $K$, которая лежит на апофеме $SM$. Следовательно, расстояние от центра шара $O_{вн}$ до прямой $SM$ равно радиусу $r$. Таким образом, $O_{вн}K = r = 12$ см и отрезок $O_{вн}K$ перпендикулярен $SM$.

На высоте $SO$ находится точка $O_{вн}$, и длина отрезка $SO_{вн}$ составляет $SO - O_{вн}O = 30 - 12 = 18$ см. Прямоугольные треугольники $\triangle SO_{вн}K$ (с гипотенузой $SO_{вн}$) и $\triangle SOM$ (с гипотенузой $SM$) подобны, так как у них есть общий острый угол при вершине $S$. Из подобия треугольников следует соотношение:

$$ \frac{O_{вн}K}{OM} = \frac{SO_{вн}}{SM} $$

Пусть длина апофемы основания $OM$ равна $x$. По теореме Пифагора для треугольника $\triangle SOM$, длина апофемы пирамиды $SM$ равна $\sqrt{SO^2 + OM^2} = \sqrt{30^2 + x^2} = \sqrt{900 + x^2}$. Подставим известные нам значения в пропорцию:

$$ \frac{12}{x} = \frac{18}{\sqrt{900 + x^2}} $$

Упростим уравнение, умножив обе части на $x \cdot \sqrt{900 + x^2}$ и разделив на 6:

$$ 2\sqrt{900 + x^2} = 3x $$

Возведем обе части уравнения в квадрат (учитывая, что $x > 0$):

$$ 4(900 + x^2) = 9x^2 $$

$$ 3600 + 4x^2 = 9x^2 $$

$$ 5x^2 = 3600 \implies x^2 = 720 $$

Отсюда находим $x = OM = \sqrt{720} = \sqrt{144 \cdot 5} = 12\sqrt{5}$ см.

Теперь необходимо найти радиус $R_{осн}$ окружности, описанной около шестиугольного основания. Для правильного шестиугольника его сторона $a$ равна радиусу описанной окружности ($a = R_{осн}$), а апофема (радиус вписанной окружности) $OM$ связана со стороной формулой $OM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Выразим сторону $a$:

$$ R_{осн} = a = \frac{2 \cdot OM}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 12\sqrt{5}}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{5}}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{15}}{3} = 8\sqrt{15} \text{ см.} $$

Центр описанного около пирамиды шара, $O_{оп}$, также располагается на высоте $SO$. Расстояние от $O_{оп}$ до любой из вершин пирамиды равно радиусу описанного шара $R$. Пусть $O_{оп}$ находится на расстоянии $y$ от центра основания $O$ вдоль прямой $SO$. Тогда расстояние от $O_{оп}$ до вершины $S$ равно $|H - y| = |30 - y|$, а расстояние до вершины основания $A$ можно найти из прямоугольного треугольника $\triangle OO_{оп}A$: $\sqrt{R_{осн}^2 + y^2}$.

Так как эти расстояния равны $R$, приравняем их квадраты:

$$ R^2 = (30-y)^2 = R_{осн}^2 + y^2 $$

Подставим значение $R_{осн}$:

$$ (30-y)^2 = (8\sqrt{15})^2 + y^2 $$

$$ 900 - 60y + y^2 = 64 \cdot 15 + y^2 $$

$$ 900 - 60y + y^2 = 960 + y^2 $$

$$ 900 - 60y = 960 $$

$$ -60y = 60 \implies y = -1 \text{ см.} $$

Отрицательное значение $y$ указывает на то, что центр описанной сферы находится на 1 см ниже плоскости основания пирамиды, на продолжении высоты.

Теперь найдем радиус описанного шара $R$:

$$ R = |30 - y| = |30 - (-1)| = |31| = 31 \text{ см.} $$

Можно также вычислить через второе выражение:

$$ R^2 = R_{осн}^2 + y^2 = (8\sqrt{15})^2 + (-1)^2 = 960 + 1 = 961 \implies R = \sqrt{961} = 31 \text{ см.} $$

Ответ: 31 см.