Номер 15.31, страница 145 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.31. Докажите, что в равногранном тетраэдре центры вписанной и описанной сфер совпадают.

Рассмотрим равногранный тетраэдр $ABCD$. По определению, все его грани являются равными между собой треугольниками. Важным следствием этого является равенство длин противолежащих ребер: $AB = CD$, $AC = BD$ и $AD = BC$.

Центром описанной сферы является точка, равноудаленная от всех четырех вершин тетраэдра. Назовем ее $O_R$. Центром вписанной сферы является точка, равноудаленная от всех четырех граней тетраэдра. Назовем ее $O_r$. Нам нужно доказать, что $O_R = O_r$.

Доказательство основано на свойствах симметрии равногранного тетраэдра. Рассмотрим отрезок, соединяющий середины противолежащих ребер, например, $AB$ и $CD$. Такой отрезок называется бимедианой тетраэдра. Пусть ось, содержащая эту бимедиану, — прямая $L_1$.

Рассмотрим поворот на $180^{\circ}$ вокруг оси $L_1$. При таком повороте середина ребра $AB$ и середина ребра $CD$ остаются на месте. Вершина $A$ переходит в вершину $B$, а вершина $B$ — в вершину $A$. Аналогично, вершина $C$ переходит в вершину $D$, а вершина $D$ — в вершину $C$. При этом ребро $AC$ переходит в ребро $BD$, а так как тетраэдр равногранный, их длины равны ($AC = BD$); ребро $AD$ переходит в ребро $BC$, и их длины также равны ($AD = BC$).

Таким образом, поворот на $180^{\circ}$ вокруг оси $L_1$ совмещает тетраэдр сам с собой. Это означает, что $L_1$ является осью симметрии тетраэдра. Аналогично можно показать, что две другие оси ($L_2$, проходящая через середины ребер $AC$ и $BD$, и $L_3$, проходящая через середины ребер $AD$ и $BC$) также являются осями симметрии тетраэдра (поворот на $180^{\circ}$).

Центр описанной сферы $O_R$ — это точка, однозначно определяемая положением вершин тетраэдра. Поскольку тетраэдр при повороте вокруг оси $L_1$ совмещается сам с собой, его центр описанной сферы также должен совмещаться сам с собой. Единственные точки, которые остаются неподвижными при повороте, — это точки на оси вращения. Следовательно, точка $O_R$ должна лежать на оси $L_1$. Повторив это рассуждение для осей $L_2$ и $L_3$, мы приходим к выводу, что точка $O_R$ должна лежать на каждой из трех осей-бимедиан.

Центр вписанной сферы $O_r$ — это точка, однозначно определяемая положением граней тетраэдра. При повороте вокруг оси $L_1$ множество граней тетраэдра переходит в себя (например, грань $ACD$ переходит в грань $BDC$). Следовательно, центр вписанной сферы также должен оставаться на месте при этом преобразовании. Это означает, что точка $O_r$ должна лежать на оси $L_1$. Аналогично, $O_r$ должна лежать и на осях $L_2$ и $L_3$.

Известно, что три бимедианы любого тетраэдра пересекаются в одной точке, которая является его центроидом (центром тяжести). Обозначим эту точку $G$. Таким образом, мы показали, что и центр описанной сферы $O_R$, и центр вписанной сферы $O_r$ должны совпадать с точкой пересечения трех осей-бимедиан, то есть с центроидом $G$. Отсюда следует, что $O_R = G$ и $O_r = G$.

Следовательно, $O_R = O_r$. Центры вписанной и описанной сфер в равногранном тетраэдре совпадают, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.