Номер 16.2, страница 148 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.2. Высота цилиндра равна $4\sqrt{3}$ см, а диагональ осевого сечения образует с плоскостью основания угол $60^{\circ}$. Найдите радиус сферы, описанной около данного цилиндра.

Пусть $h$ — высота цилиндра, $r$ — радиус его основания, а $R$ — радиус описанной сферы. По условию, высота цилиндра $h = 4\sqrt{3}$ см.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, стороны которого равны высоте цилиндра $h$ и диаметру его основания $d = 2r$. Диагональ этого прямоугольника, обозначим ее $D$, образует с плоскостью основания (то есть с диаметром $d$) угол $\alpha = 60°$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h$, диаметром основания $d$ и диагональю осевого сечения $D$. В этом треугольнике $h$ и $d$ являются катетами, а $D$ — гипотенузой. Угол между гипотенузой $D$ и катетом $d$ равен $60°$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике можем найти диаметр основания $d$: $\tan(\alpha) = \frac{h}{d}$ $d = \frac{h}{\tan(60°)} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4$ см. Следовательно, радиус основания цилиндра $r$ равен половине диаметра: $r = \frac{d}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Центр сферы, описанной около цилиндра, находится в середине оси цилиндра. Радиус этой сферы $R$ можно найти как гипотенузу прямоугольного треугольника, катетами которого являются радиус основания цилиндра $r$ и половина высоты цилиндра $\frac{h}{2}$.

Применим теорему Пифагора: $R^2 = r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2$ Подставим известные значения $r = 2$ см и $h = 4\sqrt{3}$ см: $\frac{h}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см. $R^2 = 2^2 + (2\sqrt{3})^2 = 4 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16$ см$^2$. $R = \sqrt{16} = 4$ см.

Альтернативный способ решения:
Можно найти длину диагонали осевого сечения $D$ из того же прямоугольного треугольника: $\sin(\alpha) = \frac{h}{D}$ $D = \frac{h}{\sin(60°)} = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 8$ см. Диагональ осевого сечения цилиндра является диаметром описанной около него сферы. Следовательно, радиус сферы $R$ равен половине этой диагонали: $R = \frac{D}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Ответ: 4 см.