Номер 16.5, страница 149 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.5. В шар вписан цилиндр, высота которого равна диаметру основания.

Во сколько раз площадь большого круга шара больше площади основания цилиндра?

Пусть $R$ — радиус шара, а $r$ и $h$ — радиус основания и высота вписанного цилиндра соответственно.

По условию задачи, высота цилиндра равна диаметру его основания, то есть $h = 2r$.

Рассмотрим осевое сечение данной комбинации тел. Сечением шара является большой круг радиуса $R$, а сечением цилиндра — прямоугольник со сторонами $h$ и $2r$. Так как цилиндр вписан в шар, этот прямоугольник вписан в большой круг.

Диагональ этого прямоугольника является диаметром шара. Свяжем радиус шара $R$ с параметрами цилиндра $r$ и $h$ с помощью теоремы Пифагора для треугольника, катетами которого являются радиус основания цилиндра $r$ и половина его высоты $\frac{h}{2}$, а гипотенузой — радиус шара $R$.

Получаем уравнение: $R^2 = r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2$.

Подставим в это уравнение условие $h = 2r$:

$R^2 = r^2 + \left(\frac{2r}{2}\right)^2 = r^2 + r^2 = 2r^2$.

Теперь найдем площади, которые нужно сравнить.

Площадь большого круга шара ($S_{шара}$) вычисляется по формуле:

$S_{шара} = \pi R^2$.

Площадь основания цилиндра ($S_{осн}$) вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \pi r^2$.

Чтобы найти, во сколько раз площадь большого круга шара больше площади основания цилиндра, найдем их отношение:

$\frac{S_{шара}}{S_{осн}} = \frac{\pi R^2}{\pi r^2} = \frac{R^2}{r^2}$.

Мы уже установили, что $R^2 = 2r^2$. Подставим это в наше отношение:

$\frac{S_{шара}}{S_{осн}} = \frac{2r^2}{r^2} = 2$.

Таким образом, площадь большого круга шара в 2 раза больше площади основания цилиндра.

Ответ: в 2 раза.