Номер 16.12, страница 149 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.12. Радиус основания конуса равен 4 см, а радиус описанного около него шара — 5 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Обозначим радиус основания конуса как $r$, радиус описанного шара как $R$, высоту конуса как $h$, а его образующую как $l$.

По условию задачи даны:

Радиус основания конуса $r = 4$ см.

Радиус описанного шара $R = 5$ см.

Площадь боковой поверхности конуса находится по формуле: $S_{бок} = \pi r l$. Для ее вычисления необходимо найти длину образующей $l$.

Рассмотрим осевое сечение конуса, вписанного в шар. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник (осевое сечение конуса), вписанный в большую окружность шара (сечение шара). Основание этого треугольника равно диаметру основания конуса ($2r$), боковые стороны равны образующей ($l$), а высота треугольника равна высоте конуса ($h$).

Существуют два основных соотношения, связывающих параметры конуса и описанного шара:

1. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой $h$, радиусом основания $r$ и образующей $l$, по теореме Пифагора следует: $l^2 = h^2 + r^2$.

2. Для конуса, вписанного в шар, радиус шара $R$, образующая $l$ и высота $h$ связаны соотношением: $l^2 = 2Rh$.

Подставим известные значения $r=4$ см и $R=5$ см в эти уравнения, чтобы составить систему:

$l^2 = h^2 + 4^2 \implies l^2 = h^2 + 16$

$l^2 = 2 \cdot 5 \cdot h \implies l^2 = 10h$

Приравняем правые части обоих выражений для $l^2$, чтобы найти высоту $h$:

$h^2 + 16 = 10h$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$h^2 - 10h + 16 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 10, а их произведение равно 16. Корнями являются $h_1 = 2$ и $h_2 = 8$.

Это означает, что условию задачи удовлетворяют два конуса с разной высотой. Найдем площадь боковой поверхности для каждого из них.

Случай 1: Высота конуса $h = 8$ см.

Найдем квадрат образующей: $l^2 = 10h = 10 \cdot 8 = 80$.

Тогда образующая $l = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$ см.

Площадь боковой поверхности в этом случае равна:

$S_{бок1} = \pi r l = \pi \cdot 4 \cdot 4\sqrt{5} = 16\pi\sqrt{5}$ см².

Случай 2: Высота конуса $h = 2$ см.

Найдем квадрат образующей: $l^2 = 10h = 10 \cdot 2 = 20$.

Тогда образующая $l = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$ см.

Площадь боковой поверхности в этом случае равна:

$S_{бок2} = \pi r l = \pi \cdot 4 \cdot 2\sqrt{5} = 8\pi\sqrt{5}$ см².

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: $16\pi\sqrt{5}$ см² или $8\pi\sqrt{5}$ см².