Номер 16.15, страница 149 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.15. В сферу радиуса $R$ вписан конус. Угол между образующими конуса в осевом сечении равен $\alpha$. В конус помещён цилиндр так, что одно из оснований цилиндра принадлежит основанию конуса, а окружность другого основания принадлежит боковой поверхности конуса. Известно, что отношение радиуса основания цилиндра к его образующей равно $1:4$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Пусть радиус сферы равен $R$. Обозначим радиус основания конуса как $r_k$, а его высоту как $h_k$. Угол при вершине осевого сечения конуса равен $\alpha$.

Сначала найдем параметры конуса. Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, вписанный в большую окружность сферы радиуса $R$. Основание этого треугольника равно диаметру основания конуса $2r_k$, а угол при вершине равен $\alpha$. По расширенной теореме синусов для этого треугольника: $$ \frac{2r_k}{\sin\alpha} = 2R $$ Отсюда находим радиус основания конуса: $$ r_k = R \sin\alpha $$

В осевом сечении высота конуса $h_k$ и радиус $r_k$ связаны с углом $\alpha/2$ через тангенс: $$ \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{r_k}{h_k} $$ Выразим высоту конуса $h_k$: $$ h_k = \frac{r_k}{\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)} = \frac{R \sin\alpha}{\frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)}} = \frac{R \cdot 2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)}} = 2R \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) $$

Теперь рассмотрим цилиндр, вписанный в конус. Пусть его радиус равен $r_c$, а высота (образующая) равна $h_c$. По условию, отношение радиуса основания цилиндра к его образующей равно $1:4$, следовательно: $$ \frac{r_c}{h_c} = \frac{1}{4} \implies h_c = 4r_c $$

Так как одно основание цилиндра лежит в основании конуса, а окружность другого основания лежит на боковой поверхности конуса, мы можем рассмотреть подобие конусов в осевом сечении. Малый конус, отсекаемый верхним основанием цилиндра, подобен исходному конусу. Высота малого конуса равна $h_k - h_c$, а радиус его основания равен $r_c$. Из подобия следует соотношение: $$ \frac{r_c}{r_k} = \frac{h_k - h_c}{h_k} $$

Подставим в это соотношение $h_c = 4r_c$ и выразим $r_c$: $$ \frac{r_c}{r_k} = \frac{h_k - 4r_c}{h_k} $$ $$ r_c h_k = r_k (h_k - 4r_c) $$ $$ r_c h_k = r_k h_k - 4r_k r_c $$ $$ r_c (h_k + 4r_k) = r_k h_k $$ $$ r_c = \frac{r_k h_k}{h_k + 4r_k} $$

Подставим выражения для $r_k$ и $h_k$ через $R$ и $\alpha$: $$ r_c = \frac{(R \sin\alpha) \cdot (2R \cos^2(\frac{\alpha}{2}))}{2R \cos^2(\frac{\alpha}{2}) + 4(R \sin\alpha)} $$ Используя формулу синуса двойного угла $\sin\alpha = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$, преобразуем выражение: $$ r_c = \frac{R \cdot 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2}) \cdot 2R \cos^2(\frac{\alpha}{2})}{2R \cos^2(\frac{\alpha}{2}) + 4R \cdot 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})} = \frac{4R^2 \sin(\frac{\alpha}{2})\cos^3(\frac{\alpha}{2})}{2R\cos(\frac{\alpha}{2})(\cos(\frac{\alpha}{2}) + 4\sin(\frac{\alpha}{2}))} $$ После сокращения получаем: $$ r_c = \frac{2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) + 4\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)} $$

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{цил}$ вычисляется по формуле $S_{цил} = 2\pi r_c^2 + 2\pi r_c h_c$. Учитывая, что $h_c = 4r_c$, получаем: $$ S_{цил} = 2\pi r_c^2 + 2\pi r_c (4r_c) = 2\pi r_c^2 + 8\pi r_c^2 = 10\pi r_c^2 $$

Наконец, подставим найденное выражение для $r_c$: $$ S_{цил} = 10\pi \left( \frac{2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) + 4\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)} \right)^2 = 10\pi \frac{4R^2 \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos^4\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\left(\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) + 4\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)^2} $$ $$ S_{цил} = \frac{40\pi R^2 \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos^4\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\left(\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) + 4\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)^2} $$

Ответ: $\frac{40\pi R^2 \sin^2(\alpha/2)\cos^4(\alpha/2)}{(\cos(\alpha/2) + 4\sin(\alpha/2))^2}$