Номер 16.19, страница 150 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.19. Один из углов трапеции равен $30^\circ$, а боковые стороны трапеции перпендикулярны. Найдите меньшую боковую сторону трапеции, если её средняя линия равна 10 см, а одно из оснований — 8 см.

Пусть даны основания трапеции $a$ и $b$. Средняя линия трапеции $m$ вычисляется по формуле $m = \frac{a+b}{2}$.

По условию, $m = 10$ см, а одно из оснований равно 8 см. Подставим эти значения в формулу:

$10 = \frac{a+b}{2}$

Отсюда сумма оснований $a+b = 20$ см.

Если одно из оснований равно 8 см, то второе равно $20 - 8 = 12$ см. Таким образом, основания трапеции равны 8 см и 12 см.

Пусть трапеция называется ABCD, где $AD$ и $BC$ — основания, причем $AD = 12$ см и $BC = 8$ см, а $AB$ и $CD$ — боковые стороны. По условию, боковые стороны перпендикулярны, то есть $AB \perp CD$.

Выполним дополнительное построение: проведем через вершину C прямую CK, параллельную боковой стороне AB, до пересечения с основанием AD в точке K. Полученный четырехугольник ABCK является параллелограммом (поскольку $BC \parallel AK$ как части оснований трапеции, и $AB \parallel CK$ по построению). Следовательно, $AK = BC = 8$ см и $CK = AB$.

Длина отрезка KD на основании AD равна разности длин оснований:

$KD = AD - AK = 12 - 8 = 4$ см.

Рассмотрим треугольник KCD. Так как $CK \parallel AB$ и по условию $AB \perp CD$, то из этого следует, что $CK \perp CD$. Таким образом, треугольник KCD является прямоугольным с прямым углом $\angle KCD = 90^\circ$. Сторона KD, лежащая напротив прямого угла, является гипотенузой этого треугольника, и ее длина равна 4 см.

По условию, один из углов трапеции равен $30^\circ$. Этот угол должен быть острым, а значит, он находится при большем основании AD. Обозначим углы трапеции при большем основании как $\angle A$ и $\angle D$.

В прямоугольном треугольнике KCD сумма острых углов равна $90^\circ$: $\angle CKD + \angle D = 90^\circ$.

Поскольку $CK \parallel AB$, то $\angle CKD = \angle A$ как соответственные углы при параллельных прямых CK и AB и секущей AD. Следовательно, сумма углов при большем основании трапеции равна $\angle A + \angle D = 90^\circ$.

Так как один из углов при основании равен $30^\circ$, то другой будет равен $90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. Набор длин боковых сторон будет одинаковым независимо от того, какой из углов, $\angle A$ или $\angle D$, равен $30^\circ$.

Предположим, что $\angle D = 30^\circ$. Тогда в прямоугольном треугольнике KCD с гипотенузой $KD=4$ см находим катеты:

• Катет CK (противолежащий углу D): $CK = KD \cdot \sin(\angle D) = 4 \cdot \sin(30^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$ см.
• Катет CD (прилежащий к углу D): $CD = KD \cdot \cos(\angle D) = 4 \cdot \cos(30^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

Поскольку $CK = AB$, то $AB = 2$ см.

Таким образом, боковые стороны трапеции равны 2 см и $2\sqrt{3}$ см.

Сравнивая длины боковых сторон, $2$ и $2\sqrt{3}$, и учитывая, что $\sqrt{3} > 1$, заключаем, что меньшая боковая сторона равна 2 см.

Ответ: 2 см.