Номер 17.4, страница 153 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.4. Угол между образующей конуса и его высотой равен $45^\circ$, а расстояние от центра вписанного в конус шара до вершины конуса равно 4 см. Найдите радиус данного шара.

Рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного в него шара. Сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, а сечение шара — окружность, вписанную в этот треугольник.

Пусть S — вершина конуса, SO — его высота, а SA — образующая. Центр вписанного шара, обозначим его $O_ш$, лежит на оси конуса, то есть на его высоте SO.

По условию задачи, угол между образующей SA и высотой SO равен $45^\circ$. В осевом сечении этот угол соответствует углу $\angle ASO = 45^\circ$.

Также по условию, расстояние от центра вписанного шара $O_ш$ до вершины конуса S равно 4 см, то есть $SO_ш = 4$ см.

Пусть $r$ — искомый радиус вписанного шара. Проведём радиус $O_шK$ к точке касания K шара с образующей SA. По свойству касательной, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $O_шK \perp SA$, и треугольник $\triangle SO_шK$ является прямоугольным с прямым углом при вершине K.

В прямоугольном треугольнике $\triangle SO_шK$ нам известны:

• гипотенуза $SO_ш = 4$ см;
• катет $O_шK$ равен радиусу шара $r$;
• угол $\angle KSO_ш$, который совпадает с углом $\angle ASO$, равен $45^\circ$.

Используя определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике, получаем:

$\sin(\angle KSO_ш) = \frac{O_шK}{SO_ш}$

Подставляем известные значения:

$\sin(45^\circ) = \frac{r}{4}$

Отсюда выражаем $r$:

$r = 4 \cdot \sin(45^\circ)$

Зная, что $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, вычисляем значение радиуса:

$r = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Ответ: $2\sqrt{2}$ см.