Номер 17.11, страница 154 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.11. Сфера радиуса $r$ вписана в конус, радиус основания которого равен $R$. Высота и образующая конуса соответственно равны $h$ и $l$. Докажите, что $r = \frac{Rh}{l+R}$.

Рассмотрим осевое сечение конуса, проходящее через его вершину и центр основания. В сечении мы получим равнобедренный треугольник, а вписанная сфера будет представлена в виде вписанной в этот треугольник окружности.

Пусть $\triangle ASB$ — осевое сечение конуса, где $S$ — вершина конуса, а $AB$ — диаметр его основания. Пусть $O$ — центр основания, тогда $SO = h$ — высота конуса, $OA = R$ — радиус основания, а $SA = l$ — образующая конуса. Треугольник $\triangle SOA$ является прямоугольным, и по теореме Пифагора $l^2 = R^2 + h^2$.

Центр вписанной сферы $O'$ лежит на высоте конуса $SO$. Радиус вписанной сферы $r$ — это радиус окружности, вписанной в $\triangle ASB$. Расстояние от центра $O'$ до основания $AB$ равно радиусу $r$, то есть $O'O = r$. Тогда расстояние от вершины конуса до центра сферы равно $SO' = SO - O'O = h - r$.

Проведем из центра $O'$ радиус $O'K$ к точке касания сферы с образующей $SA$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, следовательно, $O'K \perp SA$. Длина этого радиуса равна $r$, то есть $O'K = r$.

Теперь рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle SOA$ (угол $\angle SOA = 90^\circ$) и $\triangle SKO'$ (угол $\angle SKO' = 90^\circ$).

Эти треугольники подобны по двум углам:
1. $\angle SOA = \angle SKO' = 90^\circ$.
2. Угол $\angle ASO$ является общим для обоих треугольников.

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно:
$\frac{O'K}{OA} = \frac{SO'}{SA}$

Подставим известные значения в это соотношение:
$\frac{r}{R} = \frac{h-r}{l}$

Теперь решим это уравнение относительно $r$. Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):
$r \cdot l = R \cdot (h-r)$
$rl = Rh - Rr$

Перенесем все слагаемые, содержащие $r$, в левую часть уравнения:
$rl + Rr = Rh$

Вынесем $r$ за скобки:
$r(l+R) = Rh$

Наконец, выразим $r$:
$r = \frac{Rh}{l+R}$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $r = \frac{Rh}{l+R}$.