Номер 17.15, страница 154 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.15. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен $\alpha$, а радиус основания — $R$. В конус вписан шар. Найдите расстояние от вершины конуса до плоскости круга, окружность которого является линией касания шара и боковой поверхности конуса.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного в него шара. Сечение представляет собой равнобедренный треугольник $SAB$ (где $S$ — вершина конуса, $AB$ — диаметр основания) с вписанной в него окружностью.

Пусть $O$ — центр основания конуса, тогда $SO$ — высота конуса и ось симметрии сечения. $OA = R$ — радиус основания. Угол между образующей $SA$ и плоскостью основания — это угол $\angle SAO = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$ (с прямым углом при вершине $O$). Длина образующей конуса $L$ равна гипотенузе $SA$:

$L = SA = \frac{OA}{\cos(\angle SAO)} = \frac{R}{\cos\alpha}$.

Линия касания шара и боковой поверхности конуса представляет собой окружность. Эта окружность лежит в плоскости, перпендикулярной оси конуса $SO$. В осевом сечении точки этой окружности — это точки касания $K$ и $K'$ вписанной окружности со сторонами $SA$ и $SB$ треугольника $SAB$.

Воспользуемся свойством отрезков касательных, проведенных из одной вершины к вписанной окружности. Для вершины $A$ треугольника $SAB$ отрезки касательных — это $AK$ и $AO$ (поскольку основание $AB$ касается вписанной окружности в точке $O$). Следовательно, их длины равны:

$AK = AO = R$.

Теперь можем найти расстояние от вершины конуса $S$ до точки касания $K$, измеряемое вдоль образующей:

$SK = SA - AK = L - R = \frac{R}{\cos\alpha} - R = R\left(\frac{1}{\cos\alpha} - 1\right) = R\frac{1 - \cos\alpha}{\cos\alpha}$.

Искомое расстояние — это расстояние от вершины $S$ до плоскости, в которой лежит окружность касания. Эта плоскость перпендикулярна оси $SO$. Обозначим это расстояние $h$. В осевом сечении $h$ равно длине отрезка $SO_t$, где $O_t$ — проекция точки $K$ на ось $SO$. Таким образом, треугольник $SKO_t$ является прямоугольным.

Угол $\angle KSO_t$ в этом треугольнике равен углу $\angle ASO$ в треугольнике $SOA$. Найдем его величину:

$\angle ASO = 90^\circ - \angle SAO = 90^\circ - \alpha$.

Из прямоугольного треугольника $SKO_t$ выразим катет $SO_t$:

$h = SO_t = SK \cdot \cos(\angle KSO_t) = SK \cdot \cos(90^\circ - \alpha) = SK \cdot \sin\alpha$.

Подставим найденное ранее выражение для $SK$ в эту формулу:

$h = \left(R\frac{1 - \cos\alpha}{\cos\alpha}\right) \cdot \sin\alpha = R\frac{(1 - \cos\alpha)\sin\alpha}{\cos\alpha}$.

Ответ: $R\frac{(1 - \cos\alpha)\sin\alpha}{\cos\alpha}$.